Zeros Of Polynomial: $x^4-4x^3-4x^2+36x-45$

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on se penche sur un défi super intéressant : trouver tous les zéros de cette fonction polynomiale assez costaud : $f(x)=x^4-4 x^3-4 x^2+36 x-45$. Les zéros, les racines, les solutions – appelez-les comme vous voulez – ce sont ces valeurs de $x$ qui font que notre fonction $f(x)$ vaut zéro. C'est un peu comme trouver les points où le graphique de la fonction coupe l'axe des abscisses. Pour un polynôme de degré 4, comme celui-ci, ça peut parfois ressembler à une vraie enquête policière, mais pas de panique, on va y aller étape par étape, avec méthode et bonne humeur ! Alors, préparez vos calculatrices, vos crayons, et surtout, votre cerveau, parce que ça va chauffer !

L'Art de Démêler les Polynômes du Quatrième Degré

Alors les gars, quand on a un polynôme de degré 4, comme notre $f(x)=x^4-4 x^3-4 x^2+36 x-45$, la première question qui vient à l'esprit, c'est : comment on s'y prend pour trouver ses zéros ? Malheureusement, il n'y a pas de formule magique universelle comme pour les équations du second degré (le fameux discriminant delta !). Pour les polynômes de degré 3 et 4, il existe des formules, mais elles sont extrêmement complexes et rarement utilisées en pratique. Du coup, on a souvent recours à des astuces, des méthodes de tâtonnement intelligentes, et parfois, un peu de chance ! L'objectif principal est de factoriser notre polynôme, c'est-à-dire de le réécrire comme un produit de polynômes de plus petit degré. Si on arrive à le transformer en $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ ou même en $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$, on a gagné ! Parce qu'une fois factorisé, trouver les zéros devient un jeu d'enfant : il suffit de poser chaque facteur égal à zéro.

La première technique à essayer, c'est la recherche de racines rationnelles. La fameuse règle de Ruffini (ou théorème des racines rationnelles) est notre meilleure amie ici. Elle nous dit que si notre polynôme a des racines rationnelles (des fractions $p/q$ où $p$ et $q$ sont des entiers), alors $p$ doit être un diviseur du terme constant (-45 dans notre cas) et $q$ doit être un diviseur du coefficient dominant (1 dans notre cas). Les diviseurs de -45, ça fait une petite liste : $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$. Et comme le coefficient dominant est 1, les diviseurs sont juste $\pm 1$. Donc, les racines rationnelles possibles sont simplement tous les diviseurs de -45. Ça nous donne un ensemble de candidats à tester. On va donc évaluer notre fonction $f(x)$ pour ces valeurs. C'est un peu fastidieux, mais c'est la méthode qui fonctionne le mieux pour commencer. On teste $f(1)$, $f(-1)$, $f(3)$, $f(-3)$, etc. Le premier qu'on trouve qui annule $f(x)$, on l'a notre racine ! Et une fois qu'on a une racine, disons $a$, on sait que $(x-a)$ est un facteur de notre polynôme. On peut alors utiliser la division polynomiale (ou la méthode de Horner, qui est plus rapide) pour diviser $f(x)$ par $(x-a)$. Ça nous donnera un nouveau polynôme de degré 3. On réitère alors le processus : on cherche des racines rationnelles pour ce nouveau polynôme, et ainsi de suite. L'idée, c'est de descendre le degré du polynôme jusqu'à obtenir un polynôme du second degré, qu'on sait résoudre facilement avec le discriminant.

Soyons un peu plus concrets avec notre $f(x)=x^4-4 x^3-4 x^2+36 x-45$. Testons quelques valeurs candidates :

• Pour $x=1$: $f(1) = 1 - 4 - 4 + 36 - 45 = -16 eq 0$
• Pour $x=-1$: $f(-1) = 1 - 4(-1) - 4(1) + 36(-1) - 45 = 1 + 4 - 4 - 36 - 45 = -80 eq 0$
• Pour $x=3$: $f(3) = 3^4 - 4(3^3) - 4(3^2) + 36(3) - 45 = 81 - 4(27) - 4(9) + 108 - 45 = 81 - 108 - 36 + 108 - 45 = 0$. Bingo ! On a trouvé une première racine : $x=3$.

Ça veut dire que $(x-3)$ est un facteur de $f(x)$. Maintenant, on divise $f(x)$ par $(x-3)$.

(x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 36x - 45) / (x - 3)

En faisant la division polynomiale, on obtient : $x^3 - x^2 - 7x + 15$. Notre polynôme devient donc $f(x) = (x-3)(x^3 - x^2 - 7x + 15)$.

Maintenant, on doit trouver les zéros de ce nouveau polynôme de degré 3 : $g(x) = x^3 - x^2 - 7x + 15$. On applique la même méthode. Les diviseurs du terme constant (15) sont $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Les diviseurs du coefficient dominant (1) sont $\pm 1$. Donc, les racines rationnelles possibles sont $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. On teste :

• Pour $x=1$: $g(1) = 1 - 1 - 7 + 15 = 8 eq 0$
• Pour $x=-1$: $g(-1) = -1 - 1 + 7 + 15 = 20 eq 0$
• Pour $x=3$: $g(3) = 27 - 9 - 21 + 15 = 12 eq 0$
• Pour $x=-3$: $g(-3) = (-3)^3 - (-3)^2 - 7(-3) + 15 = -27 - 9 + 21 + 15 = 0$. Super ! On a trouvé une deuxième racine : $x=-3$.

Ça veut dire que $(x-(-3)) = (x+3)$ est un facteur de $g(x)$. On divise $g(x)$ par $(x+3)$.

(x^3 - x^2 - 7x + 15) / (x + 3)

La division nous donne : $x^2 - 4x + 5$. Notre polynôme $f(x)$ est donc maintenant factorisé comme : $f(x) = (x-3)(x+3)(x^2 - 4x + 5)$.

Il ne nous reste plus qu'à trouver les zéros du dernier facteur, le polynôme du second degré : $h(x) = x^2 - 4x + 5$. Et là, c'est du gâteau ! On utilise la formule du discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$. Pour $h(x)$, on a $a=1, b=-4, c=5$. Donc, $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.

Oh là là, le discriminant est négatif ! Qu'est-ce que ça signifie, les amis ? Ça veut dire que les deux autres racines de notre polynôme $f(x)$ ne sont pas des nombres réels. Ce sont des nombres complexes ! C'est le moment où le niveau de difficulté monte un petit peu, mais c'est aussi là que ça devient passionnant. Quand $\Delta < 0$, les deux racines complexes conjuguées sont données par la formule $x = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Dans notre cas, $a=1, b=-4$, et $-\Delta = -(-4) = 4$. Donc, $x = \frac{-(-4) \pm i\sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2i}{2}$.

En simplifiant, on obtient $x = 2 \pm i$. Les deux dernières racines sont donc $x = 2+i$ et $x = 2-i$. Et voilà ! On a trouvé les quatre racines de notre polynôme $f(x)=x^4-4 x^3-4 x^2+36 x-45$.

Synthèse des Zéros et Factorisation Complète

Pour résumer, les zéros de la fonction $f(x)=x^4-4 x^3-4 x^2+36 x-45$ sont les valeurs suivantes : $x=3$, $x=-3$, $x=2+i$, et $x=2-i$. On voit bien qu'on a deux racines réelles et deux racines complexes conjuguées. C'est tout à fait normal pour un polynôme à coefficients réels. Le fait qu'on ait trouvé une paire de racines complexes $(2+i, 2-i)$ confirme notre factorisation. Le polynôme $x^2 - 4x + 5$ peut s'écrire sous forme factorisée dans le corps des complexes comme $(x - (2+i))(x - (2-i))$. Si on développe ceci, on retombe bien sur $x^2 - 4x + 5$. C'est une super vérification !

La factorisation complète de notre polynôme $f(x)$ dans l'ensemble des nombres complexes est donc :

$f(x) = (x-3)(x+3)(x-(2+i))(x-(2-i))$

Si on nous avait demandé la factorisation dans l'ensemble des nombres réels, on aurait gardé le facteur quadratique irréductible : $f(x) = (x-3)(x+3)(x^2 - 4x + 5)$. C'est souvent ce qu'on demande dans les exercices de lycée, car ça évite de plonger dans les nombres complexes. Mais comme la question était de trouver