Trouver Le Point D'intersection Unique De Deux Coniques

Salut les passionnés de maths ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des coniques pour résoudre un petit casse-tête géométrique. Vous savez, ces courbes magnifiques comme les cercles et les paraboles qui parsèment nos graphiques ? Eh bien, parfois, elles se croisent en un seul et unique point. Notre mission, si vous l'acceptez, est de dénicher les coordonnées de ce point de rencontre secret entre deux de ces formes. On a deux équations sous les yeux : une pour un cercle, et une pour une parabole. L'objectif est de trouver où ces deux beautés se touchent. Accrochez-vous, ça va être une aventure mathématique passionnante !

L'art de résoudre un système d'équations de coniques

Alors les gars, quand on parle de trouver le point d'intersection entre deux courbes, qu'est-ce que ça veut dire concrètement ? Ça signifie qu'on cherche un couple de coordonnées $(x, y)$ qui satisfait simultanément les deux équations qu'on nous a données. C'est un peu comme trouver le lieu exact où deux chemins se croisent sur une carte. Dans notre cas, les deux chemins sont décrits par des équations de coniques : $(x+1)^2+(y-3)^2=25$ et $(y-3)^2=2(x-4)$. La première est clairement l'équation d'un cercle (on reconnaît la forme $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$), et la seconde est celle d'une parabole. Notre but est de trouver le ou les points $(x, y)$ qui satisfont les deux. Parfois, il peut y avoir zéro, un, deux, ou même plus de points d'intersection, mais ici, on nous annonce qu'il y en a un seul. Ça simplifie un peu les choses, mais ça rend aussi le défi plus intrigant : comment être sûr qu'il n'y en a qu'un ? La méthode la plus directe pour résoudre ce genre de problème est la substitution. On va essayer d'isoler une variable ou une expression dans une équation pour la remplacer dans l'autre. En jetant un œil aux deux équations, on remarque que l'expression $(y-3)^2$ apparaît dans les deux. C'est une aubaine ! Dans la deuxième équation, on a déjà $(y-3)^2$ isolée : $(y-3)^2 = 2(x-4)$. On peut donc prendre cette expression et la substituer directement dans la première équation, là où on trouve aussi $(y-3)^2$. Ça va nous permettre de nous débarrasser de la variable $y$ (ou du moins de son carré) et de nous concentrer sur la recherche de $x$. C'est le début de la résolution, et déjà, on sent que le mystère se dissipe peu à peu. La clé est souvent de repérer ces expressions communes ou ces variables faciles à isoler. C'est là que l'intuition mathématique commence à prendre le relais. On ne se contente pas d'appliquer des formules, on observe les équations, on cherche des raccourcis, des astuces. C'est ce qui rend les maths si vivantes et stimulantes, comme un jeu de stratégie où chaque pièce a son rôle et chaque mouvement compte pour atteindre l'objectif final : trouver ce fameux point d'intersection unique.

La substitution : la clé pour déverrouiller les coordonnées

Okay, les amis, passons à l'action avec la technique de la substitution. Comme on l'a repéré, l'expression $(y-3)^2$ est notre meilleure amie ici. On a l'équation de la parabole qui nous dit que $(y-3)^2$ est exactement égal à $2(x-4)$. Maintenant, on va prendre cette information précieuse et la injecter dans l'équation du cercle : (x+1)^2 + oldsymbol{(y-3)^2} = 25. En remplaçant oldsymbol{(y-3)^2} par $2(x-4)$, la première équation se transforme sous nos yeux en : $(x+1)^2 + 2(x-4) = 25$. Vous voyez ? On a fait disparaître le $y$ ! Il ne reste plus que du $x$, ce qui rend notre affaire beaucoup plus gérable. Maintenant, il faut juste développer et simplifier cette nouvelle équation pour trouver la valeur de $x$. Développons $(x+1)^2$ : ça nous donne $x^2 + 2x + 1$. L'équation devient donc : $x^2 + 2x + 1 + 2(x-4) = 25$. Continuons à simplifier : distribuons le 2 dans $2(x-4)$, ce qui nous donne $2x - 8$. L'équation se lit maintenant : $x^2 + 2x + 1 + 2x - 8 = 25$. Regroupons les termes similaires : $x^2 + (2x + 2x) + (1 - 8) = 25$. Cela nous donne $x^2 + 4x - 7 = 25$. Pour résoudre cette équation quadratique, il faut la mettre sous la forme standard $ax^2 + bx + c = 0$. Pour cela, on soustrait 25 des deux côtés : $x^2 + 4x - 7 - 25 = 0$. Et voilà : $x^2 + 4x - 32 = 0$. On a maintenant une belle équation du second degré en $x$. Pour trouver les valeurs de $x$, on peut soit utiliser la formule quadratique, soit essayer de factoriser. La factorisation est souvent plus rapide si on trouve les bons nombres. On cherche deux nombres qui, multipliés, donnent -32 et, additionnés, donnent +4. En réfléchissant un peu, on trouve 8 et -4. Pourquoi ? Parce que $8 imes (-4) = -32$ et $8 + (-4) = 4$. Parfait ! L'équation factorisée est donc $(x+8)(x-4) = 0$. Pour que ce produit soit nul, il faut qu'au moins un des facteurs soit nul. Donc, soit $x+8 = 0$, ce qui donne $x = -8$, soit $x-4 = 0$, ce qui donne $x = 4$. On a trouvé deux valeurs possibles pour $x$ ! Mais attendez, l'énoncé nous disait qu'il n'y avait qu'un seul point d'intersection. Qu'est-ce qui se passe ? Il faut maintenant vérifier si ces valeurs de $x$ mènent à des points valides en trouvant les $y$ correspondants et en s'assurant qu'ils sont réels. Ce sera l'objet de notre prochaine étape, mais cette substitution a été un succès ! On est sur la bonne voie pour trouver notre point unique.

Trouver le $y$ correspondant et confirmer l'unicité

Excellent travail jusqu'ici, les champions ! On a trouvé deux valeurs potentielles pour $x$ : $x = -8$ et $x = 4$. Maintenant, il est crucial de trouver les valeurs de $y$ correspondantes pour chaque $x$ et de vérifier si ces paires $(x, y)$ sont bien des points d'intersection valides pour les deux coniques. Rappelez-vous, pour qu'un point soit une solution, il doit satisfaire les deux équations. Utilisons l'équation la plus simple pour trouver $y$. L'équation $(y-3)^2 = 2(x-4)$ semble la plus directe. Prenons d'abord $x=4$. En substituant dans cette équation, on obtient : $(y-3)^2 = 2(4-4)$. Cela se simplifie en $(y-3)^2 = 2(0)$, donc $(y-3)^2 = 0$. La seule façon pour qu'un carré soit égal à zéro est que la base soit elle-même zéro. Donc, $y-3 = 0$, ce qui nous donne $y = 3$. Pour $x=4$, on a donc trouvé $y=3$. Le point potentiel est $(4, 3)$. Vérifions maintenant ce point dans l'équation du cercle : $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 25$. En remplaçant $x$ par 4 et $y$ par 3, on obtient : $(4+1)^2 + (3-3)^2 = 5^2 + 0^2 = 25 + 0 = 25$. Ça marche ! Le point $(4, 3)$ satisfait bien l'équation du cercle. Puisqu'il satisfait aussi l'équation de la parabole (on l'a utilisé pour trouver $y$), $(4, 3)$ est définitivement un point d'intersection valide. Maintenant, examinons la deuxième valeur de $x$, c'est-à-dire $x = -8$. Substituons $x = -8$ dans l'équation $(y-3)^2 = 2(x-4)$ : $(y-3)^2 = 2(-8 - 4)$. Cela nous donne $(y-3)^2 = 2(-12)$, soit $(y-3)^2 = -24$. Là, on rencontre un problème, les amis. Le carré d'un nombre réel ne peut jamais être négatif. Il n'existe donc aucune valeur réelle de $y$ telle que $(y-3)^2 = -24$. Cela signifie que $x = -8$ ne conduit à aucun point d'intersection réel. Cette deuxième valeur de $x$ est une solution