Tracer La Courbe : Équations Paramétriques X=t^2+4, Y=t/5+8

Salut les matheux en herbe ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des courbes définies par des équations paramétriques. Pas de panique, on va rendre ça super simple et fun. On va décortiquer ensemble comment tracer la courbe donnée par les équations :

$\begin{array}{l} x=t^2+4 \\y=\frac{t}{5}+8\end{array}$

Ces équations, les gars, utilisent un paramètre, ici c'est '$t$', pour définir les coordonnées '$x$' et '$y$' d'un point sur la courbe. C'est un peu comme avoir une petite télécommande qui fait bouger un point dans le plan en fonction du réglage de '$t$'. Notre mission, si on l'accepte, est de découvrir la forme de la trajectoire de ce point quand '$t$' se balade.

Comprendre les Équations Paramétriques

Avant de sortir les crayons et le papier millimétré, il faut piger comment ça marche. Les équations paramétriques nous donnent '$x$' et '$y$' séparément en fonction d'une troisième variable, le paramètre '$t$'. Dans notre cas, on a :

• '$x = t^2 + 4$'
• '$y = \frac{t}{5} + 8$'

Ce qu'on veut, c'est trouver une relation directe entre '$x$' et '$y$', c'est-à-dire une équation cartésienne (du genre '$y = f(x)$' ou '$F(x,y) = 0$'). Pour faire ça, on va essayer d'éliminer '$t$'. C'est la technique classique pour passer du monde paramétrique au monde cartésien.

Étape 1 : Isoler le paramètre 't'

Le plus simple est souvent d'isoler '$t$' dans l'équation où il apparaît de manière linéaire. Ici, c'est clairement l'équation de '$y$' :

'$y = \frac{t}{5} + 8$'

On décale le 8 :

'$y - 8 = \frac{t}{5}$'

Et hop, on multiplie par 5 :

'$t = 5(y - 8)$'

Voilà, on a notre '$t$' tout seul ! C'est notre clé pour le déverrouiller et le substituer dans l'autre équation.

Étape 2 : Substituer 't' dans l'autre équation

Maintenant, on prend cette expression de '$t$' et on la fourre dans l'équation de '$x$' :

'$x = t^2 + 4$'

On remplace '$t$' par '$5(y - 8)$' :

'$x = (5(y - 8))^2 + 4$'

Développons ça pour voir un peu plus clair :

'$x = 25(y - 8)^2 + 4$'

Et voilà, les amis ! On a notre équation cartésienne. Cette équation nous dit exactement quelle forme a notre courbe dans le plan '$xy$'.

Analyse de l'Équation Cartésienne

Notre équation '$x = 25(y - 8)^2 + 4$' est super intéressante. Si vous êtes un peu familiers avec les formes des courbes, vous allez vite reconnaître quelque chose.

• La forme générale : Elle ressemble à '$x = a(y - k)^2 + h$', où '$a = 25$', '$h = 4$' et '$k = 8$'.
• Quel type de courbe ? Cette forme est celle d'une parabole. Et pas n'importe laquelle : une parabole qui s'ouvre latéralement (horizontalement).
• Orientation : Comme le coefficient de '$ (y - 8)^2 $' (qui est 25) est positif, la parabole s'ouvre vers la droite (direction de l'axe '$x