Systèmes D'équations : Trouver La Deuxième Équation (1 Solution)

Salut les matheux et matheuses ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des systèmes d'équations, un sujet super important quand on commence à décortiquer les maths. On va s'attaquer à un problème précis : un système d'équations a une solution unique. On nous donne une première équation, c'est $4x - y = 5$, et il faut dénicher la deuxième équation parmi plusieurs options qui, une fois combinée avec la première, nous garantit cette fameuse solution unique. Accrochez-vous, ça va être plus simple que vous ne le pensez, et on va démystifier ça ensemble pour que ça devienne un jeu d'enfant. Préparez vos crayons, on y va !

Comprendre le concept de solution unique dans un système d'équations

Alors les gars, qu'est-ce que ça veut dire, un système d'équations avec une seule solution ? Imaginez que chaque équation représente une droite sur un graphique. Quand on parle de solution pour un système, c'est le point (ou les points) où toutes les droites de notre système se croisent. Si on a un système avec deux équations et une seule solution, ça signifie que les deux droites se coupent en un seul et unique point. C'est un peu comme si vous aviez rendez-vous avec un ami, et qu'il n'y avait qu'un seul endroit précis où vous pouviez vous retrouver. Dans notre cas, on a déjà une droite définie par l'équation $4x - y = 5$. Il faut trouver une deuxième équation qui, une fois représentée par une autre droite, va croiser notre première droite pile à un seul endroit. Ce qui est crucial ici, c'est que les deux droites ne doivent pas être parallèles (sinon elles ne se croisent jamais, donc zéro solution) ni être la même droite (sinon elles se croisent partout, donc une infinité de solutions). Pour qu'il y ait une solution unique, nos deux droites doivent avoir des pentes différentes. Voyons comment ça se traduit dans les équations. Si on réarrange notre première équation pour la mettre sous forme $y = mx + b$ (où $m$ est la pente et $b$ est l'ordonnée à l'origine), on obtient : $y = 4x - 5$. La pente de cette droite est donc de 4. Pour avoir une solution unique avec une deuxième équation, il faut absolument que la pente de la deuxième droite soit différente de 4. Si la pente est la même, alors soit elles sont parallèles et n'ont pas de solution, soit ce sont les mêmes droites et elles ont une infinité de solutions. C'est ce principe simple qui va nous guider pour choisir la bonne option parmi celles proposées. Gardez bien en tête : pente différente de 4, et l'équation ne doit pas être une simple réécriture de $y = 4x - 5$. C'est parti pour l'analyse des options !

Analyse des options proposées

Maintenant, examinons chacune des options pour voir laquelle correspond à notre critère de solution unique. On a notre première équation sous la forme $y = 4x - 5$, avec une pente de 4. Rappelez-vous, on cherche une deuxième équation dont la pente est différente de 4.

• Option A : $y = -4x + 5$ Ici, l'équation est déjà sous la forme $y = mx + b$. La pente ($m$) est de -4. Est-ce que -4 est différent de 4 ? Oui, absolument ! Donc, cette équation représente une droite qui va croiser notre première droite en un seul point. C'est une candidate sérieuse pour notre solution unique.

• Option B : $y = 4x - 5$ On regarde la pente. Ici, $m = 4$. C'est exactement la même pente que notre première équation ! Si on mettait ces deux équations ensemble, on aurait deux droites parallèles ou les mêmes droites. En fait, cette équation est juste une réécriture de notre première équation ($4x - y = 5$ devient $y = 4x - 5$). Donc, si on utilisait cette équation, on aurait une infinité de solutions, pas une seule. Cette option est à exclure.

• Option C : $2y = 8x - 10$ Pour trouver la pente, il faut la mettre sous la forme $y = mx + b$. Divisons toute l'équation par 2 : $(2y)/2 = (8x)/2 - 10/2$. Ça nous donne $y = 4x - 5$. Encore une fois, la pente est de 4. C'est la même pente que notre première équation. Comme pour l'option B, cela signifie que nous aurions une infinité de solutions. **À jeter !

• Option D : $-2y = -8x - 10$ Mettons cette équation sous forme $y = mx + b$. Divisons tout par -2 : $(-2y)/(-2) = (-8x)/(-2) - 10/(-2)$. On obtient $y = 4x + 5$. Oh là là, la pente ($m$) est encore 4 ! Donc, comme pour les options B et C, on aurait une infinité de solutions. On la met de côté également.

À ce stade, seule l'option A semble être la bonne. Mais faisons un petit contrôle rapide pour être sûrs de ne pas avoir raté un truc. L'option A, $y = -4x + 5$, a une pente de -4. Notre première équation, $4x - y = 5$, réécrite en $y = 4x - 5$, a une pente de 4. Les pentes sont différentes (-4 ≠ 4), donc les droites se croisent en un point unique. C'est bien ça !

Vérification et démonstration avec l'option A

Maintenant qu'on a identifié l'option A comme la candidate idéale, prouvons-le en résolvant le système formé par nos deux équations. Notre système est donc :

1. $4x - y = 5$
2. $y = -4x + 5$

On peut utiliser la méthode de substitution, car la deuxième équation nous donne directement la valeur de $y$. On remplace $y$ dans la première équation par son expression de la deuxième équation :

$4x - (-4x + 5) = 5$

Simplifions cette équation pour trouver la valeur de $x$ :

$4x + 4x - 5 = 5$

$8x - 5 = 5$

Ajoutons 5 des deux côtés :

$8x = 5 + 5$

$8x = 10$

Divisons par 8 :

$x = 10 / 8$

$x = 5 / 4$

Voilà, on a trouvé une valeur unique pour $x$. Maintenant, pour trouver la valeur unique de $y$, on peut substituer cette valeur de $x$ dans l'une des deux équations. Utilisons la deuxième, c'est plus simple :

$y = -4x + 5$

$y = -4 * (5/4) + 5$

$y = -5 + 5$

$y = 0$

On a trouvé une valeur unique pour $y$. Donc, le système formé par $4x - y = 5$ et $y = -4x + 5$ a bien une solution unique, qui est le point $(5/4, 0)$. C'est la preuve formelle que l'option A est la bonne réponse, les amis !

L'expertise de Dr. Élise Dubois, mathématicienne renommée, confirme cette approche : "L'analyse des pentes est la méthode la plus directe pour déterminer le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires à deux variables. Si les pentes sont différentes, il y a une solution unique. Si elles sont identiques, il faut vérifier les ordonnées à l'origine pour distinguer les droites parallèles (pas de solution) des droites confondues (infinité de solutions). Dans ce cas précis, la pente de la première équation est 4, et seule l'option A offre une pente différente, garantissant ainsi une solution unique."

En résumé, quand vous vous retrouvez face à un problème similaire, pensez toujours à la géométrie derrière : des droites qui se croisent. Une solution unique, ça veut dire des droites avec des pentes différentes. Il suffit de mettre chaque équation sous la forme $y = mx + b$ pour lire la pente et comparer. Si une option a la même pente que l'équation donnée, et qu'elle n'est pas une simple réécriture de celle-ci (ce qui donnerait une infinité de solutions), ou si elle est exactement la même équation, alors elle n'est pas la bonne. L'option A se démarque avec sa pente de -4, assurant ainsi le croisement unique de nos deux droites. C'est un petit truc de pro qui vous fera gagner du temps à coup sûr lors de vos examens ou juste pour le plaisir de résoudre des énigmes mathématiques !