Système D'équations : X²+y²=8 Et Y=x-4

Salut les matheux et matheuses ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des systèmes d'équations. On va s'attaquer à un problème qui peut sembler un peu intimidant au premier abord, mais vous allez voir, avec un peu de méthode et de logique, c'est carrément gérable. Notre mission, si vous l'acceptez, est de trouver les solutions pour le système d'équations suivant :

$ \begin{array}{l} x^2+y2=8 \y=x-4 \end{array} $

Ce système combine une équation de cercle ($x^2+y^2=8$) et une équation de droite ($y=x-4$). Trouver les solutions, ça revient à trouver les points d'intersection entre ce cercle et cette droite. Imaginez un peu : où est-ce que la droite coupe le cercle ? Ces points, ce sont nos solutions !

Avant de nous lancer tête baissée dans les calculs, prenons un moment pour comprendre ce que l'on cherche. On a deux inconnues, $x$ et $y$, et deux relations qui les lient. Les solutions seront des paires de valeurs $(x, y)$ qui satisfont simultanément les deux équations. C'est super important, car une valeur qui marche pour l'une mais pas pour l'autre n'est pas une solution de notre système.

On va utiliser la méthode de substitution, qui est souvent la plus simple quand l'une des équations est déjà résolue pour une variable, comme c'est le cas avec $y=x-4$. On va simplement remplacer $y$ dans la première équation par son expression en fonction de $x$. Préparez vos crayons, ça va chauffer !

La Méthode de Substitution : Notre Meilleure Amie

Alors les amis, pour résoudre ce système d'équations, on va utiliser la technique de la substitution. C'est un peu comme échanger des pièces dans un jeu : on prend une information (l'expression de $y$) et on la place là où elle peut nous aider à simplifier le problème. Notre deuxième équation, $y=x-4$, nous donne une super opportunité. Elle nous dit que $y$ est exactement égal à $x-4$. On va donc prendre cette expression $(x-4)$ et la substituer à la place de $y$ dans notre première équation, $x^2+y^2=8$.

Ça nous donne quelque chose comme ceci : $x^2 + (x-4)^2 = 8$. Vous voyez ? On a éliminé la variable $y$ et on se retrouve avec une seule équation avec une seule inconnue, $x$. C'est déjà un grand pas ! Maintenant, il faut développer et simplifier cette nouvelle équation pour trouver les valeurs possibles de $x$.

Développons $(x-4)^2$. Rappelez-vous de l'identité remarquable : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Dans notre cas, $a=x$ et $b=4$. Donc, $(x-4)^2 = x^2 - 2(x)(4) + 4^2 = x^2 - 8x + 16$. Cool !

Maintenant, on remplace ça dans notre équation : $x^2 + (x^2 - 8x + 16) = 8$. Simplifions encore : $2x^2 - 8x + 16 = 8$.

Pour résoudre cette équation quadratique, il faut la mettre sous la forme standard $ax^2 + bx + c = 0$. On soustrait 8 des deux côtés : $2x^2 - 8x + 16 - 8 = 0$, ce qui nous donne $2x^2 - 8x + 8 = 0$.

On peut encore simplifier cette équation en divisant tous les termes par 2 : $x^2 - 4x + 4 = 0$. Et là, les génies, vous reconnaissez peut-être quelque chose ! C'est une autre identité remarquable : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Ici, $a=x$ et $b=2$. Donc, notre équation devient $(x-2)^2 = 0$.

La seule façon pour que le carré d'un nombre soit égal à zéro, c'est que ce nombre lui-même soit zéro. Donc, $x-2 = 0$, ce qui nous donne $x=2$. Waouh ! On a trouvé une valeur unique pour $x$. Ça veut dire que notre droite touche notre cercle en un seul point, ou alors qu'elle est tangente au cercle. C'est un cas particulier super intéressant !

Trouver les Valeurs de $y$ Correspondantes

Maintenant qu'on a notre valeur de $x$, qui est $x=2$, il faut trouver la valeur de $y$ qui va avec. Heureusement, on a notre équation de droite $y=x-4$ qui nous facilite la tâche. On va juste remplacer $x$ par 2 dans cette équation.

Donc, $y = 2 - 4$. Et hop, on obtient $y = -2$.

On a donc trouvé une solution unique pour notre système : le point de coordonnées $(x, y) = (2, -2)$. C'est le point où notre droite est tangente à notre cercle. C'est quand même assez classe de visualiser ça géométriquement !

Pour être sûrs de notre coup, vérifions si ce point $(2, -2)$ satisfait bien les deux équations d'origine.

Première équation : $x^2+y^2=8$. Est-ce que $2^2 + (-2)^2 = 8$ ? $4 + 4 = 8$. Oui, c'est bon !

Deuxième équation : $y=x-4$. Est-ce que $-2 = 2 - 4$ ? $-2 = -2$. Oui, ça marche aussi !

Donc, notre solution $(2, -2)$ est correcte et unique. Ça veut dire que la droite est tangente au cercle au point $(2, -2)$. C'est le seul point commun aux deux figures.

Alors, quand on regarde les options proposées : A. $(-2,-6)$, B. No solutions, C. $(2,-2)$, D. $(2,-2)$ and $(-2,-6)$.

La bonne réponse est donc C. $(2,-2)$. Notre analyse nous a montré qu'il n'y avait qu'une seule solution, et cette solution est bien le point $(2, -2)$.

Pourquoi Pas d'Autres Solutions ? L'Analyse Géométrique

Pour vraiment comprendre pourquoi il n'y a qu'une seule solution, il est utile de jeter un œil à ce qui se passe géométriquement. Notre première équation, $x^2+y^2=8$, représente un cercle centré à l'origine $(0,0)$ avec un rayon de $\sqrt{8}$ (qui est environ 2.83). Notre deuxième équation, $y=x-4$, est une droite. Pour visualiser cette droite, on peut penser à sa forme réduite $y=mx+p$, où $m$ est la pente et $p$ est l'ordonnée à l'origine.

Ici, la pente $m$ est de 1, ce qui signifie que pour chaque unité parcourue vers la droite sur l'axe des $x$, la droite monte d'une unité sur l'axe des $y$. L'ordonnée à l'origine $p$ est de -4, donc la droite coupe l'axe des $y$ au point $(0, -4)$.

Maintenant, imaginons ce cercle et cette droite. Le centre du cercle est à $(0,0)$. Le point le plus bas du cercle est à $(0, -\sqrt{8})$, soit environ $(0, -2.83)$. Le point où la droite coupe l'axe des $y$ est $(0, -4)$. Ce point $(0, -4)$ est donc en dessous du point le plus bas du cercle. Ça nous donne une indication que la droite pourrait bien couper le cercle.

Quand on a résolu le système, on a obtenu l'équation $x^2 - 4x + 4 = 0$, qui est $(x-2)^2 = 0$. Le fait qu'on obtienne une équation quadratique avec une racine double (c'est-à-dire une seule valeur pour $x$ qui annule le polynôme) est la confirmation mathématique que la droite est tangente au cercle. Elle ne fait que