Système D'équations : Quand Trouver Une Infinité De Solutions ?

Salut les matheux et matheuses ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des systèmes d'équations. Vous savez, ces petits défis où l'on cherche à trouver les valeurs de variables qui satisfont plusieurs conditions en même temps. Et si je vous disais qu'il est possible, sous certaines conditions, d'avoir une infinité de solutions ? Oui, oui, vous avez bien entendu ! Dans cet article, on va décortiquer un système d'équations particulier et découvrir quelles valeurs de A et B nous ouvrent les portes de cette richesse de possibilités. Préparez vos neurones, ça va chauffer !

Comprendre les systèmes d'équations et l'infinité de solutions

Avant de se lancer tête baissée dans notre problème, il est crucial de bien comprendre ce que signifie avoir une infinité de solutions pour un système d'équations linéaires. Imaginez deux droites dans un plan. Si ces deux droites se croisent en un seul point, il y a une solution unique. Si elles sont parallèles et distinctes, elles ne se croisent jamais, donc il n'y a aucune solution. Mais que se passe-t-il si les deux droites sont en fait la même droite ? Eh bien, elles se superposent parfaitement, et chaque point sur cette droite devient une solution ! C'est ce scénario de la droite identique qui nous garantit une infinité de solutions. Pour qu'une infinité de solutions existe dans un système d'équations linéaires à deux variables, les deux équations doivent représenter la même droite. Cela signifie que l'une des équations doit être un multiple constant de l'autre. En d'autres termes, si vous multipliez tous les termes de la première équation par un certain nombre, vous devriez obtenir la deuxième équation, et vice-versa. C'est la clé pour débloquer ce trésor de solutions ! Alors, gardez bien cette idée en tête, car c'est elle qui va guider notre exploration pour trouver les valeurs spécifiques de A et B.

Analyser notre système d'équations

Passons maintenant à l'action avec notre système d'équations spécifique :

$\begin{aligned} 4 x-A y &=15 \\ -4 x+6 y &=B \end{aligned}$

Notre objectif est simple : trouver les valeurs de $A$ et $B$ qui font que ces deux équations représentent la même droite. Pour cela, nous allons essayer de manipuler l'une des équations pour qu'elle ressemble à l'autre. Une approche courante consiste à essayer de faire correspondre les coefficients des variables $x$ et $y$, ainsi que les termes constants. Regardons attentivement les coefficients de $x$. Nous avons un $4x$ dans la première équation et un $-4x$ dans la seconde. Pour que les deux équations soient équivalentes, il faudrait idéalement qu'elles aient le même coefficient pour $x$ (ou des coefficients proportionnels). Si nous multiplions la deuxième équation par $-1$, nous obtenons $4x - 6y = -B$. Maintenant, comparons cette nouvelle forme avec notre première équation : $4x - Ay = 15$. Pour que ces deux équations soient identiques, il faut que les coefficients de $y$ soient égaux et que les termes constants soient égaux. Donc, on doit avoir $-A = -6$ et $15 = -B$. La première condition, $-A = -6$, nous donne directement $A = 6$. La deuxième condition, $15 = -B$, nous donne $B = -15$. Voilà, on commence à y voir clair ! Ces valeurs semblent prometteuses pour créer une infinité de solutions. Mais avant de crier victoire, vérifions si cela fonctionne dans tous les cas et si d'autres approches nous mènent aux mêmes conclusions. C'est en explorant différentes pistes qu'on assure la solidité de nos découvertes mathématiques !

Tester les options et confirmer la solution

Maintenant que nous avons identifié des valeurs candidates pour $A$ et $B$ ($A=6$ et $B=-15$) en basant notre raisonnement sur la transformation de l'une des équations pour qu'elle corresponde à l'autre, il est temps de vérifier si ces valeurs fonctionnent réellement. Pour cela, remplaçons $A$ par 6 et $B$ par -15 dans notre système d'équations original :

$\begin{aligned} 4 x-6 y &=15 \\ -4 x+6 y &=-15 \end{aligned}$

Regardons cette nouvelle version du système. Si nous multiplions la deuxième équation par $-1$, nous obtenons : $-1 imes (-4x + 6y) = -1 imes (-15)$, ce qui donne $4x - 6y = 15$. Comme vous pouvez le constater, cette équation est exactement la même que la première équation de notre système. Lorsque les deux équations d'un système sont identiques, cela signifie qu'elles représentent la même droite dans le plan. Par conséquent, tous les points qui se trouvent sur cette droite sont des solutions au système. Il y a donc une infinité de solutions ! Nos valeurs $A=6$ et $B=-15$ sont donc correctes. Ces résultats correspondent à l'option C. C'est toujours une bonne idée de tester les options fournies, surtout dans un QCM. Si on avait pris l'option A ($A=-6, B=15$), le système serait : $4x - (-6)y = 15 ightarrow 4x + 6y = 15$ et $-4x + 6y = 15$. Ces équations ne sont clairement pas identiques et ne représentent pas la même droite. En fait, elles représenteraient des droites parallèles. L'option B ($A=6, B=15$) donnerait $4x - 6y = 15$ et $-4x + 6y = 15$. Encore une fois, pas la même droite. L'option D ($A=-6, B=-15$) donnerait $4x + 6y = 15$ et $-4x + 6y = -15$. Ces équations ne sont pas équivalentes non plus. Notre analyse confirme donc que l'option C est la bonne réponse. C'est cette rigueur dans la vérification qui fait la beauté des mathématiques !

L'importance de la proportionalité des coefficients

Pour garantir une infinité de solutions dans un système d'équations linéaires, comme celui que nous avons étudié, il faut que les deux équations soient proportionnelles. Qu'est-ce que cela signifie concrètement ? Ça veut dire que les coefficients de $x$, les coefficients de $y$, et les termes constants de la première équation sont dans le même rapport que ceux de la deuxième équation. Autrement dit, si on appelle $a_1, b_1, c_1$ les coefficients et le terme constant de la première équation, et $a_2, b_2, c_2$ ceux de la seconde, alors pour une infinité de solutions, il faut qu'il existe un nombre $k$ (non nul) tel que $a_1 = k imes a_2$, $b_1 = k imes b_2$, et $c_1 = k imes c_2$. Dans notre cas, les équations sont :

$\begin{aligned} 4 x+(-A) y &=15 \\ -4 x+6 y &=B \end{aligned}$

Comparons les coefficients de $x$: nous avons 4 dans la première équation et -4 dans la seconde. Si on veut qu'ils soient proportionnels, il faut un facteur $k$ tel que $4 = k imes (-4)$. Cela nous donne $k = -1$. Ce facteur $k=-1$ est notre clé ! Maintenant, appliquons ce même facteur aux autres coefficients pour voir quelles valeurs de $A$ et $B$ sont nécessaires. Pour les coefficients de $y$, nous avons $-A$ dans la première équation et $6$ dans la seconde. En utilisant notre facteur $k=-1$, on doit avoir $-A = (-1) imes 6$. Cela simplifie en $-A = -6$, ce qui nous donne directement $A=6$. Enfin, pour les termes constants, nous avons $15$ dans la première équation et $B$ dans la seconde. En appliquant notre facteur $k=-1$, on obtient $15 = (-1) imes B$. En multipliant par $-1$ des deux côtés, on trouve $B = -15$. Voilà comment l'idée de proportionnalité des coefficients nous ramène exactement aux mêmes valeurs que nous avions trouvées précédemment. C'est une autre façon, très formelle, de comprendre pourquoi ces valeurs sont celles qui permettent une infinité de solutions. En gros, il faut que la deuxième équation soit juste une version