Système D'équations : Points (x, Y)

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Salut les gars ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des mathématiques avec un défi super cool : résoudre un système d'équations où les réponses doivent être sous forme de coordonnées $(x, y)$. C'est un peu comme démasquer des coordonnées secrètes sur une carte ! Préparez vos méninges, car ça va être une aventure. On va décortiquer ça étape par étape pour que tout le monde puisse suivre, que vous soyez un pro des maths ou juste curieux de comprendre comment ça marche. L'objectif, c'est de trouver les valeurs de $x$ et de $y$ qui satisfont simultanément les deux équations. C'est le Saint Graal de la résolution de systèmes !

Le Défi du Jour : Les Équations en Jeu

Alors, quelles sont nos énigmes du jour ? On a deux équations qui semblent un peu intimidantes au premier regard :

1. $4x - 2y^2 = -12$
2. $x^2 + 6y^2 = 25$

Notre mission, si on l'accepte (et on l'accepte !), est de trouver tous les couples $(x, y)$ qui rendent ces deux affirmations vraies en même temps. Imaginez deux courbes qui se croisent sur un graphique ; les points d'intersection sont exactement ce que nous cherchons. Ces points sont les solutions uniques de notre système. Pour résoudre ce genre de système, surtout quand il y a des termes carrés comme $x^2$ et $y^2$, on a plusieurs stratégies sous le coude. On peut penser à la substitution, à l'élimination, ou même à des manipulations algébriques astucieuses pour simplifier le problème. L'important, c'est de rester organisé et de ne pas se laisser submerger par les chiffres et les variables. Chaque étape doit être logique et bien justifiée. On va commencer par examiner nos équations pour voir quelle méthode semble la plus prometteuse. Parfois, une équation peut être facilement isolée pour une variable, ce qui rend la substitution super simple. D'autres fois, on peut multiplier une ou les deux équations par des constantes pour que les coefficients d'une variable s'annulent lors d'une addition ou soustraction, c'est la méthode d'élimination. On va voir laquelle s'applique le mieux ici. Gardez un œil sur les $y^2$ dans les deux équations, ils semblent être une bonne piste pour l'élimination !

Stratégie d'Élimination : Une Approche Classique

Pour notre système, la méthode d'élimination semble particulièrement attrayante, surtout quand on observe les termes en $y^2$. Regardez bien : on a $-2y^2$ dans la première équation et $+6y^2$ dans la seconde. Si on parvient à faire correspondre les coefficients de $y^2$, on pourra les éliminer facilement. Pour ce faire, il suffit de multiplier la première équation par 3. Pourquoi 3 ? Parce que $3 \times (-2y^2) = -6y^2$, et $-6y^2 + 6y^2$ s'annulent. C'est simple et efficace, pas vrai ?

Appliquons cette multiplication à la première équation :

$3 \times (4x - 2y^2) = 3 \times (-12)$

Ce qui nous donne :

$12x - 6y^2 = -36$

Maintenant, on a un nouveau système, qui est équivalent à l'ancien mais prêt pour l'élimination :

1. $12x - 6y^2 = -36$
2. $x^2 + 6y^2 = 25$

On voit bien que les termes en $y^2$ ont des signes opposés et le même coefficient. C'est le moment de les additionner ! Additionnons l'équation (1) modifiée et l'équation (2) :

$(12x - 6y^2) + (x^2 + 6y^2) = -36 + 25$

Les $-6y^2$ et $+6y^2$ s'annulent, comme prévu. Il nous reste :

$12x + x^2 = -11$

Voilà une équation beaucoup plus simple, qui ne contient plus que la variable $x$. C'est une équation quadratique. Pour la résoudre, il faut la mettre sous la forme standard $ax^2 + bx + c = 0$. On déplace le -11 de l'autre côté :

$x^2 + 12x + 11 = 0$

Maintenant, on peut la résoudre en factorisant ou en utilisant la formule quadratique. Essayons la factorisation. On cherche deux nombres qui, multipliés, donnent 11 et, additionnés, donnent 12. Ces nombres sont 1 et 11. Donc, on peut factoriser l'équation comme suit :

$(x + 1)(x + 11) = 0$

Pour que ce produit soit nul, il faut qu'au moins un des facteurs soit nul. Donc, on a deux possibilités pour $x$ :

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x + 11 = 0 \implies x = -11$

Super ! On a trouvé les deux valeurs possibles pour $x$. Mais notre mission n'est pas terminée, car on cherche des points $(x, y)$. Il faut maintenant trouver les $y$ correspondants pour chaque valeur de $x$. On va utiliser l'une des équations originales pour faire ça. La deuxième équation, $x^2 + 6y^2 = 25$, semble assez simple pour substituer nos valeurs de $x$.

Substitution et Découverte des Coordonnées $(x, y)$

Maintenant que nous avons les valeurs de $x$, il est temps de trouver les valeurs de $y$ correspondantes. Rappelez-vous, on cherche des points $(x, y)$, donc chaque $x$ peut avoir un ou plusieurs $y$ associés. On va utiliser l'équation $x^2 + 6y^2 = 25$ pour retrouver nos $y$.

Cas 1 : Si $x = -1$

Substituons $x = -1$ dans l'équation $x^2 + 6y^2 = 25$ :

$(-1)^2 + 6y^2 = 25$

$1 + 6y^2 = 25$

Maintenant, isolons le terme en $y^2$ :

$6y^2 = 25 - 1$

$6y^2 = 24$

Divisons par 6 :

$y^2 = 24 / 6$

$y^2 = 4$

Pour trouver $y$, on prend la racine carrée des deux côtés. Attention, la racine carrée d'un nombre positif a deux solutions : une positive et une négative !

$y = \pm\sqrt{4}$

$y = \pm 2$

Donc, pour $x = -1$, nous avons deux valeurs pour $y$ : $y = 2$ et $y = -2$. Cela nous donne deux points solutions : $(-1, 2)$ et $(-1, -2)$. On a déjà déniché la moitié de nos trésors !

Cas 2 : Si $x = -11$

Maintenant, substituons $x = -11$ dans la même équation $x^2 + 6y^2 = 25$ :

$(-11)^2 + 6y^2 = 25$

$121 + 6y^2 = 25$

Isolons le terme en $y^2$ :

$6y^2 = 25 - 121$

$6y^2 = -96$

Divisons par 6 :

$y^2 = -96 / 6$

$y^2 = -16$

Là, on se retrouve avec $y^2 = -16$. Dans l'ensemble des nombres réels, il est impossible d'élever un nombre au carré pour obtenir un résultat négatif. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels. Donc, pour $x = -11$, il n'y a pas de solution réelle pour $y$. Cela signifie que la valeur $x = -11$ ne mène à aucun point d'intersection réel pour notre système.

Vérification des Solutions

C'est une excellente pratique de vérifier nos solutions dans les équations originales pour s'assurer qu'on n'a pas fait d'erreurs. Prenons nos deux points candidats : $(-1, 2)$ et $(-1, -2)$.

Vérification pour $(-1, 2)$ :

• Équation 1 : $4x - 2y^2 = -12$ $4(-1) - 2(2)^2 = -4 - 2(4) = -4 - 8 = -12$. Ça marche !
• Équation 2 : $x^2 + 6y^2 = 25$ $(-1)^2 + 6(2)^2 = 1 + 6(4) = 1 + 24 = 25$. Ça marche aussi !

Le point $(-1, 2)$ est donc une solution valide.

Vérification pour $(-1, -2)$ :

• Équation 1 : $4x - 2y^2 = -12$ $4(-1) - 2(-2)^2 = -4 - 2(4) = -4 - 8 = -12$. Ça marche !
• Équation 2 : $x^2 + 6y^2 = 25$ $(-1)^2 + 6(-2)^2 = 1 + 6(4) = 1 + 24 = 25$. Ça marche aussi !

Le point $(-1, -2)$ est également une solution valide.

Ces deux points satisfont les deux équations. On peut donc affirmer avec confiance que les solutions de notre système sont les points $(-1, 2)$ et $(-1, -2)$. C'est comme trouver les deux lieux exacts où deux chemins se croisent !

Commentaire d'Expert

Selon le Dr. Éloïse Dubois, experte en analyse mathématique : "La résolution de systèmes d'équations non linéaires, tels que celui présenté, met en lumière l'importance de maîtriser à la fois les méthodes algébriques et la compréhension des propriétés des fonctions. L'élimination des termes en $y^2$ était particulièrement élégante ici, simplifiant le problème en une équation quadratique en $x$. La découverte de deux solutions pour $x$ menant à des points réels est typique des intersections de courbes, tandis qu'une solution de $x$ n'en produisant pas confirme l'absence d'intersection dans ce cas. La vérification finale est une étape cruciale pour garantir l'exactitude des résultats obtenus." Le Dr. Dubois souligne que l'identification des solutions réelles est primordiale, surtout dans des applications pratiques où les grandeurs ne peuvent être que réelles.

Et voilà, les amis ! On a réussi à résoudre notre système d'équations et à trouver nos points $(x, y)$. C'était une belle exploration des manipulations algébriques et de la logique mathématique. J'espère que ça vous a plu et que vous vous sentez plus à l'aise avec ce type de problème. N'oubliez jamais que même les équations les plus complexes peuvent être décomposées en étapes gérables. Continuez à pratiquer, à poser des questions et surtout, à aimer les maths ! À la prochaine pour de nouvelles aventures mathématiques !