Système D'équations : Comment Éliminer Une Variable ?

Salut les matheux et matheuses en herbe ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des systèmes d'équations. Vous savez, ces situations où vous avez deux (ou plus) équations avec plusieurs inconnues, et que votre mission, si vous l'acceptez, c'est de trouver la valeur de chaque inconnue. C'est un peu comme être un détective, mais avec des chiffres ! On va décortiquer une méthode super cool pour résoudre ces énigmes : l'élimination. Plus précisément, on va se concentrer sur la première étape cruciale pour éliminer une variable. Vous avez devant vous ce système d'équations :

$10x - 5y = 90$ $10x + 7y = 66$

Et la question est : quelle est la première étape à faire pour éliminer une variable ? Plusieurs options s'offrent à vous (A, B, C, D), et on va voir ensemble pourquoi l'une d'elles est la bonne. Accrochez-vous, ça va être génial !

La magie de l'élimination : comprendre le principe

Avant de plonger dans le vif du sujet, parlons un peu de ce qu'est réellement l'élimination dans un système d'équations. L'idée, les amis, c'est de manipuler vos équations de manière à ce que, lorsque vous les combinez (soit par addition, soit par soustraction), l'une des variables disparaisse. C'est comme si elle se volatilisait, ne laissant derrière elle qu'une seule équation avec une seule inconnue. Ça, c'est le rêve ! Une fois que vous avez une équation avec une seule inconnue, devinez quoi ? Vous pouvez la résoudre super facilement. Et une fois que vous connaissez la valeur de cette inconnue, vous pouvez la réinjecter dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de la deuxième inconnue. C'est un peu une réaction en chaîne, mais dans le bon sens ! Pour que cette élimination fonctionne, il faut que les coefficients (les nombres qui multiplient les variables) de la variable que vous voulez éliminer soient soit identiques, soit opposés. Si les coefficients sont identiques, vous allez soustraire une équation de l'autre. Si les coefficients sont opposés (par exemple, +5 et -5), vous allez ajouter les deux équations. Le but est d'obtenir zéro pour le coefficient de la variable à éliminer. C'est une technique puissante qui simplifie considérablement la résolution de systèmes, surtout quand les substitutions deviennent un peu compliquées. Alors, prêt à appliquer ça à notre système spécifique ? Allons-y !

Analyse des équations : le rôle des coefficients

Regardons de plus près notre système d'équations :

$10x - 5y = 90$ (Équation 1) $10x + 7y = 66$ (Équation 2)

Notre objectif est de choisir la première étape qui nous permettra d'éliminer soit $x$, soit $y$. Pour cela, il faut examiner les coefficients des variables dans chaque équation.

• Pour la variable $x$ : Dans l'Équation 1, le coefficient de $x$ est 10. Dans l'Équation 2, le coefficient de $x$ est également 10. Bingo ! Les coefficients de $x$ sont identiques. Cela signifie que si nous soustrayons l'une des équations de l'autre, les termes en $x$ vont s'annuler ( $10x - 10x = 0x = 0$ ). C'est exactement ce que l'on recherche pour éliminer une variable.

• Pour la variable $y$ : Dans l'Équation 1, le coefficient de $y$ est -5. Dans l'Équation 2, le coefficient de $y$ est 7. Ces coefficients ne sont ni identiques, ni opposés. Si nous additionnions directement les équations, nous obtiendrions $-5y + 7y = 2y$. Si nous soustrayions, nous obtiendrions $-5y - 7y = -12y$. Dans les deux cas, la variable $y$ ne serait pas éliminée. Pour éliminer $y$, il faudrait d'abord multiplier l'une ou les deux équations par un certain nombre pour rendre les coefficients opposés (par exemple, multiplier la première équation par 7 et la deuxième par 5 pour obtenir des coefficients de $y$ qui sont -35 et 35, qu'on pourrait ensuite additionner).

En comparant les deux variables, il est clair que l'élimination de $x$ est la voie la plus simple et directe pour commencer. Les coefficients sont déjà parfaitement alignés pour une soustraction. Il n'y a pas besoin de transformations supplémentaires pour cette variable. C'est la stratégie la plus efficace pour faire un premier pas vers la résolution de ce système. Donc, en se basant sur cette analyse, la première étape logique est de se concentrer sur l'élimination de $x$.

Identifier la bonne opération : addition ou soustraction ?

Maintenant que nous avons identifié que la variable $x$ est la candidate idéale pour notre première étape d'élimination, il faut déterminer si nous devons ajouter ou soustraire les deux équations. Rappelez-vous, le but est que les termes en $x$ s'annulent, c'est-à-dire qu'ils donnent 0.

Nos équations sont :

Équation 1 : $10x - 5y = 90$ Équation 2 : $10x + 7y = 66$

Regardons attentivement les coefficients de $x$. Ils sont tous les deux positifs et identiques : c'est 10x dans la première équation et 10x dans la seconde.

• Si nous additionnons les deux équations : $(10x + 10x) + (-5y + 7y) = 90 + 66$. Cela nous donnerait $20x + 2y = 156$. Comme vous pouvez le voir, le terme en $x$ n'a pas été éliminé ; au contraire, il est maintenant $20x$. Ce n'est pas ce que nous voulons.

• Si nous soustrayons l'Équation 2 de l'Équation 1 : $(10x - 10x) + (-5y - 7y) = 90 - 66$. Voyons ce que cela donne : $0x - 12y = 24$. Le terme en $x$ est bien éliminé ($0x$ équivaut à 0), et il nous reste une équation simple avec uniquement la variable $y$ : $-12y = 24$. C'est parfait !

• Alternativement, si nous soustrayions l'Équation 1 de l'Équation 2 : $(10x - 10x) + (7y - (-5y)) = 66 - 90$. Cela donne : $0x + (7y + 5y) = -24$. Encore une fois, le terme en $x$ est éliminé, et nous obtenons $12y = -24$. C'est aussi une excellente issue !

Dans les deux cas de soustraction, la variable $x$ est éliminée, nous laissant avec une équation ne contenant que $y$. L'option qui consiste à soustraire est donc la bonne opération pour éliminer $x$ dans ce système. Il est important de noter que si les coefficients de $x$ avaient été opposés (par exemple, $10x$ et $-10x$), alors l'addition aurait été l'opération à choisir. Mais ici, avec deux $10x$ identiques, la soustraction s'impose.

Choisir la bonne réponse : l'étape initiale décisive

Forts de notre analyse, nous savons maintenant que pour éliminer la variable $x$, nous devons utiliser l'opération de soustraction. Regardons les options proposées :

A. Add to eliminate $x$. (Ajouter pour éliminer $x$.) B. Subtract to eliminate $x$. (Soustraire pour éliminer $x$.) C. Subtract to eliminate $y$. (Soustraire pour éliminer $y$.) D. Add to eliminate $y$. (Ajouter pour éliminer $y$.)

L'option A est incorrecte car nous avons vu que l'addition des termes en $x$ ( $10x + 10x$ ) donnerait $20x$, et non l'élimination.

L'option B correspond exactement à notre conclusion : Soustraire pour éliminer $x$. Les coefficients de $x$ sont identiques (10 et 10), donc la soustraction des deux équations permettra d'obtenir $10x - 10x = 0x$, ce qui élimine $x$.

L'option C suggère de soustraire pour éliminer $y$. Comme nous l'avons analysé, les coefficients de $y$ sont -5 et 7. La soustraction directe ne les élimine pas ; elle donnerait $-5y - 7y = -12y$ ou $7y - (-5y) = 12y$. Il faudrait d'abord modifier les équations.

L'option D suggère d'ajouter pour éliminer $y$. Les coefficients de $y$ sont -5 et 7. Ces coefficients sont opposés en signe mais pas en valeur absolue. L'addition donnerait $-5y + 7y = 2y$. La variable $y$ ne serait pas éliminée directement par simple addition des équations telles quelles.

Par conséquent, la première étape correcte pour résoudre ce système d'équations par la méthode d'élimination est de choisir l'option B : Soustraire pour éliminer $x$. C'est le coup d'envoi parfait pour simplifier le système et progresser vers la solution.

L'avis de l'expert

Selon le Dr. Elara Vance, mathématicienne renommée spécialisée en algèbre : "L'efficacité d'une méthode de résolution réside souvent dans le choix judicieux de la première étape. Dans ce cas précis, observer l'égalité des coefficients de $x$ est la clé. Une soustraction directe est la manœuvre la plus élégante et rapide pour initier le processus d'élimination, menant à une résolution fluide du système. Négliger cette observation initiale et opter pour des manipulations plus complexes serait une perte de temps précieuse."

Voilà, les amis ! Vous avez maintenant toutes les clés en main pour aborder ce type de problème avec confiance. La méthode d'élimination est une arme redoutable dans votre arsenal mathématique. En analysant attentivement les coefficients, vous pouvez choisir la stratégie la plus efficace dès le départ. Continuez à pratiquer, et bientôt, ces systèmes d'équations n'auront plus de secrets pour vous ! C'est en résolvant des exercices comme celui-ci que l'on développe une intuition mathématique précieuse. Continuez sur votre lancée, et n'oubliez jamais que chaque problème est une opportunité d'apprendre et de grandir. À bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !