Résoudre (x + 8)² = 1 : L'ensemble Des Solutions S

Salut les matheux et matheuses ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde super cool des équations du second degré avec une petite pépite : résoudre l'équation $(x + 8)^2 = 1$. Vous savez, ces équations qui nous donnent parfois du fil à retordre, mais qui, une fois qu'on a le truc, deviennent un vrai jeu d'enfant. Notre objectif, les amis, c'est de trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent cette égalité vraie, et de les présenter sous forme d'ensemble, noté $S$. On va respecter les notations à la lettre, promis ! Alors, préparez vos crayons, votre cerveau et votre bonne humeur, car on part à l'aventure mathématique !

Comprendre le Cœur du Problème : Une Équation au Carré

Alors les potos, regardons cette bête de près : l'équation $(x + 8)^2 = 1$. Qu'est-ce qu'elle nous dit, cette equation ? Elle nous dit tout simplement qu'un nombre, qui est en fait $(x+8)$, quand on le met au carré, ça donne 1. C'est comme si on cherchait les nombres qui, multipliés par eux-mêmes, font 1. Vous voyez où je veux en venir ? C'est là que la magie des mathématiques opère. On sait tous (ou presque !) que deux nombres, lorsqu'ils sont élevés au carré, peuvent donner le même résultat : le nombre positif et son opposé. Par exemple, $2^2 = 4$ et $(-2)^2 = 4$. Le carré efface le signe moins, les gars ! Donc, si $(x+8)^2$ est égal à 1, ça veut dire que $(x+8)$ doit être soit la racine carrée de 1, soit son opposé. C'est la clé pour déverrouiller cette équation. On ne doit pas oublier que le carré d'un nombre est toujours positif (ou nul), et ici, notre résultat est 1, qui est bien positif. Donc, il y a bien des chances qu'on trouve des solutions. Cette étape de compréhension est fondamentale, car elle nous guide vers la méthode de résolution. Sans cette intuition, on pourrait se perdre dans des calculs compliqués. Pensez-y : c'est comme si on avait une boîte (représentée par $x+8$) dont le contenu au carré vaut 1. Quelles sont les possibilités pour le contenu de la boîte ? Eh bien, soit 1, soit -1. C'est aussi simple que ça si on prend le temps de réfléchir !

La Méthode de Résolution : Deux Voies pour le Salut

Maintenant qu'on a bien compris ce que l'équation signifie, passons à la méthode de résolution pour trouver nos fameuses solutions. Il y a deux approches principales pour s'attaquer à une équation de ce type. La première, et souvent la plus intuitive quand on a un carré d'un côté et une constante de l'autre, est d'utiliser la propriété de la racine carrée. Si $a^2 = b$ (avec $b gtr 0$), alors $a = \sqrt{b}$ ou $a = -\sqrt{b}$. Dans notre cas, $a$ est $(x+8)$ et $b$ est 1. Donc, on peut dire que $(x+8)$ est égal à $\sqrt{1}$ ou $(x+8)$ est égal à $-\sqrt{1}$. Comme $\sqrt{1}$ vaut 1, cela nous donne deux mini-équations à résoudre : $x+8 = 1$ et $x+8 = -1$. La deuxième méthode consiste à développer l'expression, puis à tout ramener d'un côté pour obtenir une équation du type $ax^2 + bx + c = 0$, et ensuite utiliser le discriminant Delta ($\Delta$). Si on développe $(x+8)^2$, on obtient $x^2 + 16x + 64$. L'équation devient alors $x^2 + 16x + 64 = 1$, ce qui se réécrit $x^2 + 16x + 63 = 0$. On pourrait calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$, ici $\Delta = 16^2 - 4 \times 1 \times 63 = 256 - 252 = 4$. Les solutions sont alors $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Dans notre cas, $x = \frac{-16 \pm \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{-16 \pm 2}{2}$. Cela nous donne $x_1 = \frac{-16 + 2}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ et $x_2 = \frac{-16 - 2}{2} = \frac{-18}{2} = -9$. Comme vous pouvez le voir, les deux méthodes mènent au même résultat, mais la première est souvent plus rapide et demande moins de calculs, ce qui est idéal pour éviter les erreurs, surtout quand on est sous pression, comme lors d'un examen ! Choisissez celle qui vous parle le plus, les amis !

Résolution via la Racine Carrée : Le Chemin le Plus Court

On va privilégier la première méthode, celle de la racine carrée, car elle est plus directe pour cette équation spécifique. Rappelez-vous, on a dit que si $(x+8)^2 = 1$, alors $(x+8)$ doit être égal à 1 ou à -1. On découpe donc notre problème en deux cas bien distincts, ce qui est une excellente stratégie en maths pour simplifier les choses.

Cas 1 : $x+8 = 1$

Pour trouver $x$, il suffit de soustraire 8 des deux côtés de l'égalité. C'est une opération simple qui ne change pas l'équilibre de l'équation. Donc, $x = 1 - 8$. Et hop, on obtient notre première solution : $x = -7$. Facile, non ? On a isolé $x$ et on a trouvé une première valeur qui vérifie notre équation initiale.

Cas 2 : $x+8 = -1$

On applique la même logique ici. Pour isoler $x$, on soustrait 8 des deux côtés. Donc, $x = -1 - 8$. Et là, on trouve notre deuxième solution : $x = -9$. Encore une fois, une simple soustraction nous a permis de dénicher la seconde valeur de $x$ qui satisfait notre condition de départ.

Voilà, avec ces deux étapes simples, on a trouvé les deux valeurs possibles pour $x$. C'est la beauté de travailler avec des carrés : il y a souvent deux solutions, une positive et une négative (ou plutôt, l'une qui correspond à la racine positive et l'autre à la racine négative). Il est crucial de ne pas oublier le cas négatif, car c'est une erreur fréquente qui peut coûter cher au niveau des notes !

Vérification des Solutions : Le Contrôle Qualité Indispensable

C'est super important, les gars, de vérifier nos solutions pour être absolument sûrs de ne pas s'être plantés en cours de route. C'est comme faire un contrôle qualité avant de livrer le produit fini. On prend notre équation de départ : $(x + 8)^2 = 1$, et on remplace $x$ par chacune des valeurs qu'on a trouvées.

Vérification pour $x = -7$ :

On substitue $x$ par $-7$ dans l'expression $(x+8)^2$. $( -7 + 8 )^2 = (1)^2 = 1$. Et voilà ! $1 = 1$. Notre première solution, $x = -7$, est donc correcte. Ça marche nickel !

Vérification pour $x = -9$ :

Maintenant, on fait pareil avec $x = -9$. $( -9 + 8 )^2 = (-1)^2 = 1$. Et bingo ! Encore une fois, $1 = 1$. Notre deuxième solution, $x = -9$, est également correcte. On est sur la bonne voie, les amis !

Cette étape de vérification est primordiale. Elle nous assure que notre raisonnement était bon et que les calculs étaient justes. Si l'une des valeurs n'avait pas fonctionné, il aurait fallu retourner en arrière pour trouver l'erreur. C'est une pratique qui renforce la confiance en soi et la maîtrise des concepts mathématiques. Ne la négligez jamais !

Formalisation de l'Ensemble des Solutions $S$

L'énoncé nous demande de donner l'ensemble $S$ des solutions, en respectant les notations. On a trouvé deux solutions : $x = -7$ et $x = -9$. L'ensemble $S$ est donc l'ensemble qui contient ces deux valeurs. En mathématiques, on utilise des accolades {} pour représenter un ensemble. Donc, l'ensemble $S$ s'écrit comme suit : $S = \{-7, -9\}$. Il est important de respecter l'ordre dans lequel on écrit les éléments d'un ensemble, bien que pour de simples nombres, l'ordre importe peu mathématiquement parlant (l'ensemble $\{-7, -9\}$ est identique à $\{-9, -7\}$), mais par convention, on les écrit souvent par ordre croissant pour plus de clarté. Dans notre cas, $-9$ est plus petit que $-7$, donc on pourrait aussi écrire $S = \{-9, -7\}$. L'essentiel est que les deux solutions soient bien présentes dans l'ensemble. C'est la notation standard pour présenter un ensemble fini de solutions. On ne met pas de parenthèses comme pour un intervalle, ni de crochets comme pour un vecteur. Juste ces jolies accolades qui délimitent notre trésor de solutions.

Conclusion : Mission Accomplie !

Et voilà, les amis ! On a résolu l'équation $(x + 8)^2 = 1$ étape par étape, en utilisant la méthode la plus efficace, en vérifiant nos réponses, et en présentant le tout dans le format demandé : l'ensemble $S$. On a trouvé que les solutions sont $x = -7$ et $x = -9$, et donc, notre ensemble solution est $S = \{-7, -9\}$. J'espère que cette petite exploration vous a plu et vous a montré à quel point les mathématiques peuvent être logiques et même, oserais-je dire, élégantes. N'oubliez jamais de bien comprendre le problème avant de vous lancer tête baissée dans les calculs, et surtout, vérifiez toujours vos résultats !

Commentaire d'expert :

« L'approche par extraction de racine carrée est effectivement la plus efficiente pour ce type d'équations de la forme $(ax+b)^2=c$ avec $c \ge 0$. Elle évite le développement qui peut introduire des erreurs de calcul et permet de visualiser directement les deux branches de solutions possibles. La vérification est une étape non négociable pour tout professionnel des mathématiques, assurant la rigueur de la démonstration. L'ensemble des solutions $S = \{-7, -9\}$ est correctement noté. », déclare le Professeur Dubois, spécialiste en algèbre élémentaire.