Résoudre (x+10)²=144 : Les Solutions Pour X

Salut les matheux et matheuses !

Aujourd'hui, on se penche sur une équation qui peut sembler un peu intimidante au premier abord, mais vous allez voir, c'est de la tarte une fois qu'on a le truc. L'équation qui nous intéresse, c'est : $(x+10)^2 = 144$. Notre mission, si vous l'acceptez, est de trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent cette égalité vraie. Accrochez-vous, car on va dérouler ça étape par étape, et vous allez kiffer comprendre comment on arrive aux solutions. On ne va pas juste donner les réponses, non, on va expliquer pourquoi ce sont les bonnes réponses, histoire que ça rentre bien dans le crâne.

L'astuce avec ce genre d'équation, c'est de reconnaître la forme. On a quelque chose au carré qui est égal à un nombre. La première chose qui doit vous venir à l'esprit, c'est la racine carrée. Parce que, vous savez, la racine carrée, c'est l'opération inverse du carré. Si je vous dis que $a^2 = b$, alors il y a de fortes chances que $a = ext{racine carrée de } b$ ou $a = - ext{racine carrée de } b$. C'est exactement ce qu'on va appliquer ici, les gars ! Notre 'quelque chose au carré', c'est $(x+10)$, et notre nombre, c'est $144$. Donc, on va prendre la racine carrée des deux côtés de l'équation. Mais attention, et c'est crucial, quand on prend la racine carrée d'un nombre dans ce contexte, il y a deux possibilités : la racine positive et la racine négative. N'oubliez jamais ça, sinon vous risquez de passer à côté d'une solution, et ça, ce serait dommage.

La Magie de la Racine Carrée dans les Équations

Quand on rencontre une équation du type $(expression\_algébrique)^2 = nombre$, la méthode la plus directe pour la résoudre est d'utiliser la propriété fondamentale de la racine carrée. Ici, notre 'expression algébrique' est $(x+10)$ et notre 'nombre' est $144$. L'idée est de se débarrasser de ce carré qui embête notre $x$. Pour ce faire, on applique l'opération inverse, qui est la racine carrée. Donc, on va écrire : $\sqrt{(x+10)^2} = \sqrt{144}$. Jusque-là, tout va bien, c'est logique. Mais le point fondamental à ne jamais oublier, c'est que la racine carrée de $144$ n'est pas unique dans le contexte de la résolution d'une équation. Pourquoi ? Parce que lorsque vous élevez un nombre au carré, le signe disparaît. Par exemple, $(12)^2 = 144$ et $(-12)^2 = 144$ aussi ! Les deux donnent $144$. C'est pourquoi, quand on résout $(x+10)^2 = 144$ en prenant la racine carrée des deux côtés, il faut considérer les deux possibilités pour la valeur de $(x+10)$. On a donc deux chemins possibles qui s'ouvrent devant nous :

1. $x+10$ est égal à la racine carrée positive de $144$, c'est-à-dire $12$.
2. $x+10$ est égal à la racine carrée négative de $144$, c'est-à-dire $-12$.

C'est cette dualité qui nous garantit de trouver toutes les solutions de l'équation. Ignorer la possibilité négative, c'est comme aller à la pêche sans hameçon : vous n'attraperez rien, ou du moins, pas tout ce qu'il y a à attraper. La beauté des mathématiques, c'est cette rigueur qui nous oblige à considérer tous les cas possibles pour être certains de notre résultat. Alors, préparons-nous à explorer ces deux chemins pour débusquer nos valeurs de $x$.

Cheminement vers la Première Solution

Commençons par le chemin le plus 'simple', celui où $(x+10)$ est égal à la racine carrée positive de $144$. On sait tous que $12 \times 12 = 144$, donc la racine carrée positive de $144$ est $12$. Notre première équation devient alors : $x+10 = 12$. Pour trouver $x$, il suffit maintenant d'isoler la variable. On fait ça en soustrayant $10$ des deux côtés de l'égalité. Ça nous donne : $x = 12 - 10$. Et hop ! La première solution tombe : $x = 2$. Facile, non ? Pour vérifier, on peut remplacer $x$ par $2$ dans l'équation d'origine : $(2+10)^2 = (12)^2 = 144$. Ça marche nickel !

Exploration de la Deuxième Solution

Maintenant, attaquons-nous au deuxième chemin, qui est tout aussi important. Ici, on considère que $(x+10)$ est égal à la racine carrée négative de $144$. Comme on l'a dit, $(-12) \times (-12)$ donne aussi $144$. Donc, notre deuxième équation est : $x+10 = -12$. Pour isoler $x$ dans cette équation, on applique la même technique : on soustrait $10$ des deux côtés. On obtient : $x = -12 - 10$. Et là, attention aux signes, on additionne deux nombres négatifs. Le résultat est donc $x = -22$. C'est notre deuxième solution. Pour la vérifier, on la remplace dans l'équation d'origine : $(-22+10)^2 = (-12)^2 = 144$. Ça matche parfaitement ! C'est ça la beauté des maths, chaque étape est logique et vérifiable.

Récapitulatif des Solutions et Conclusion Finale

Alors, récapitulons ce qu'on a trouvé, les amis. En partant de l'équation $(x+10)^2 = 144$, et en appliquant la méthode de la racine carrée de manière rigoureuse, en considérant les deux possibilités (positive et négative), nous avons découvert deux valeurs pour $x$. La première solution est $x = 2$, obtenue lorsque $x+10 = 12$. La deuxième solution est $x = -22$, obtenue lorsque $x+10 = -12$. Il est absolument essentiel de se souvenir que lorsqu'on résout une équation de ce type, il faut toujours penser aux deux racines carrées, car les deux peuvent mener à des solutions valides. Ne jamais négliger la racine négative, c'est une erreur classique mais facile à corriger une fois qu'on la connaît. Ces deux solutions, $2$ et $-22$, sont donc les seules qui satisfont l'équation de départ. Quand on vous demande de