Résoudre Un Système D'équations Avec L'élimination De Gauss

Salut les matheux et les matheuses ! Aujourd'hui, on va plonger dans le monde fascinant de l'algèbre linéaire pour résoudre un problème qui, avouons-le, peut faire froncer les sourcils à première vue. Mais pas de panique, avec la méthode de l'élimination de Gauss, ça va rouler tout seul ! On va décortiquer ce système d'équations :

$2 x+4 y+6 z=18$ $4 x+5 y+6 z=24$ $3 x+y-2 z=4$

Imaginez que vous avez plusieurs inconnues et plusieurs relations entre elles. C'est exactement ce que représente un système d'équations. L'élimination de Gauss, c'est un peu comme un chef d'orchestre qui va réorganiser intelligemment ces relations pour faire apparaître la solution de manière limpide. L'objectif est de transformer notre système initial, un peu brouillon, en un système équivalent mais beaucoup plus simple à résoudre, grâce à une série d'opérations sur les lignes (ou équations). On va viser une forme qu'on appelle « échelonnée », où chaque équation a moins d'inconnues que la précédente, jusqu'à ce qu'on obtienne une équation avec une seule inconnue. Ensuite, on remonte tranquillement pour trouver les valeurs des autres inconnues. Alors, prêts à devenir des pros de l'élimination de Gauss ? Accrochez-vous, ça va être pédagogique et super utile !

La mise en place : Transformer le système en matrice

Avant de se lancer dans les opérations, la première étape, les gars, c'est de rendre notre système plus lisible en le représentant sous forme de matrice augmentée. C'est quoi ça ? C'est juste une façon compacte de noter les coefficients de nos inconnues (x, y, z) et les constantes à droite de l'égalité. Chaque ligne de la matrice correspondra à une équation, et chaque colonne aux coefficients d'une inconnue. La dernière colonne contiendra les résultats.

Reprenons notre système :

$2 x+4 y+6 z=18$ $4 x+5 y+6 z=24$ $3 x+y-2 z=4$

Il faut d'abord s'assurer que les équations sont bien alignées, c'est-à-dire que les termes en x, y, z sont dans le même ordre dans chaque équation. Dans notre cas, c'est déjà le cas, ce qui est parfait ! On va donc écrire la matrice suivante. On utilise des crochets pour délimiter notre matrice, et une barre verticale pour séparer les coefficients des constantes :

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & | & 18 \\ 4 & 5 & 6 & | & 24 \\ 3 & 1 & -2 & | & 4 \end{bmatrix}$$

Cette matrice représente exactement le même système d'équations. La première ligne dit : "2 fois x plus 4 fois y plus 6 fois z égale 18". La deuxième ligne, c'est "4x + 5y + 6z = 24", et la troisième, "3x + y - 2z = 4". Le but du jeu avec l'élimination de Gauss, c'est de manipuler cette matrice (et donc notre système) en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes. Ces opérations ne changent pas la solution du système, c'est ça qui est magique ! Les opérations autorisées sont :

1. Échanger deux lignes : On peut intervertir deux équations. Ça revient à dire qu'on peut changer l'ordre dans lequel on résout les choses.
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul : On peut multiplier toute une équation par un nombre (qui n'est pas zéro). Par exemple, multiplier l'équation $x+y=2$ par 3 donne $3x+3y=6$. C'est la même relation, juste écrite différemment.
3. Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne : C'est l'opération la plus puissante. On peut prendre une ligne, la multiplier par un nombre, puis l'ajouter à une autre ligne. Par exemple, si on a $x+y=2$ et $2x+3y=5$, on peut prendre la première ligne, la multiplier par -2 (ça donne $-2x-2y=-4$), puis l'ajouter à la deuxième ligne. Ça donne $(2x+3y) + (-2x-2y) = 5 + (-4)$, ce qui simplifie en $y=1$. On a éliminé 'x' de la deuxième équation !

Notre objectif est de transformer cette matrice en une forme échelonnée par lignes, où le premier élément non nul de chaque ligne (appelé pivot) est à droite du pivot de la ligne supérieure. Pour notre système, on veut transformer la première colonne (celle des 'x') en quelque chose comme ça : un 1 en haut, et des 0 en dessous. Puis on passera à la deuxième colonne pour faire de même avec les lignes du dessous. C'est parti !

L'élimination : Transformer la matrice en forme échelonnée

Maintenant, on passe à l'action ! Le but est de transformer notre matrice pour obtenir une forme échelonnée. On commence par la première colonne. On veut que le premier élément (le pivot) soit 1 si possible, et surtout, on veut annuler tous les éléments en dessous de ce pivot. Dans notre cas, le premier élément est déjà 2. Ce n'est pas 1, mais ce n'est pas grave pour l'instant. On va plutôt chercher à éliminer le 4 et le 3 dans la première colonne.

Notre matrice actuelle est :

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & | & 18 \\ 4 & 5 & 6 & | & 24 \\ 3 & 1 & -2 & | & 4 \end{bmatrix}$$

Étape 1 : Annuler le 4 dans la deuxième ligne.

Pour annuler le 4, on peut utiliser la première ligne. Si on multiplie la première ligne par -2, on obtient : -4, -8, -12, | -36. Maintenant, on ajoute cette nouvelle ligne à la deuxième ligne originale (4, 5, 6, | 24).

$L_2 ightarrow L_2 - 2L_1$

Nouvelle $L_2$ : $(4-4) ext{x} + (5-8) ext{y} + (6-12) ext{z} = (24-36)$

Ce qui donne : $0 ext{x} - 3 ext{y} - 6 ext{z} = -12$. La deuxième ligne de notre matrice devient donc : 0, -3, -6, | -12.

Notre matrice ressemble maintenant à ça :

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & | & 18 \\ 0 & -3 & -6 & | & -12 \\ 3 & 1 & -2 & | & 4 \end{bmatrix}$$

Étape 2 : Annuler le 3 dans la troisième ligne.

On utilise toujours la première ligne pour annuler le 3. On peut multiplier la première ligne par -3/2 et l'ajouter à la troisième ligne. C'est un peu calculatoire, mais ça marche ! Ou, pour éviter les fractions trop tôt, on peut faire une combinaison astucieuse. Par exemple, multiplier la première ligne par 3 et la deuxième ligne par -2, puis les ajouter. Mais restons simples pour l'instant : on veut annuler le 3 avec le 2 de la première ligne. Multiplions $L_1$ par 3 et $L_3$ par -2.

$3L_1 : 6, 12, 18, | 54$ $-2L_3 : -6, -2, 4, | -8$

Maintenant, ajoutons ces deux résultats pour obtenir la nouvelle $L_3$. Attention, c'est $L_3 ightarrow 3L_1 - 2L_3$ (ou une opération similaire qui annule le coefficient). Une autre façon plus simple : on veut que le 2 de $L_1$ et le 3 de $L_3$ fassent 0. On peut faire $L_3 ightarrow 2L_3 - 3L_1$.

$2L_3 : 6, 2, -4, | 8$ $-3L_1 : -6, -12, -18, | -54$

Nouvelle $L_3$ : $(6-6) ext{x} + (2-12) ext{y} + (-4-18) ext{z} = (8-54)$

Ce qui donne : $0 ext{x} - 10 ext{y} - 22 ext{z} = -46$. La troisième ligne devient : 0, -10, -22, | -46.

Notre matrice est maintenant :

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & | & 18 \\ 0 & -3 & -6 & | & -12 \\ 0 & -10 & -22 & | & -46 \end{bmatrix}$$

On a réussi à avoir des zéros dans la première colonne sous le pivot ! C'est super. Maintenant, on va se concentrer sur la deuxième colonne et la deuxième ligne. On veut annuler le -10 dans la troisième ligne en utilisant le pivot de la deuxième ligne, qui est -3.

Étape 3 : Annuler le -10 dans la troisième ligne.

On a la ligne 2 : $0, -3, -6, | -12$ et la ligne 3 : $0, -10, -22, | -46$. On veut annuler le -10. On peut multiplier $L_2$ par 10 et $L_3$ par -3, puis les ajouter. Ou, plus simplement, faire $L_3 ightarrow 3L_2 - 10L_3$ (ou $L_3 ightarrow L_2 - (10/3)L_3$ pour éviter les grands nombres).

Utilisons $L_3 ightarrow 3L_2 - 10L_3$ :

$3L_2 : 0, -9, -18, | -36$ $-10L_3 : 0, 100, 220, | 460$

Nouvelle $L_3$ : $(0+0) ext{x} + (-9+100) ext{y} + (-18+220) ext{z} = (-36+460)$

Ce qui donne : $91 ext{y} + 202 ext{z} = 424$.

La matrice devient :

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & | & 18 \\ 0 & -3 & -6 & | & -12 \\ 0 & 0 & 91 & | & 202 \end{bmatrix}$$

On obtient une forme échelonnée ! Le pivot de la première ligne (2) est à gauche du pivot de la deuxième ligne (-3), qui est à gauche du pivot de la troisième ligne (91). Et surtout, on a des zéros en dessous des pivots.

La remontée : Trouver les solutions

Maintenant que notre système est sous forme échelonnée, la partie la plus facile commence : la remontée. On va réécrire notre matrice sous forme d'équations et résoudre en partant de la dernière.

La dernière ligne nous donne l'équation : $91 ext{z} = 202$. On peut donc trouver z directement !

$$z = \frac{202}{91}$$

Maintenant, on prend la deuxième ligne, qui nous donne l'équation : $-3 ext{y} - 6 ext{z} = -12$. On connaît la valeur de z, donc on remplace pour trouver y :

$-3 ext{y} - 6 \left(\frac{202}{91}\right) = -12$

$-3 ext{y} = -12 + 6 \left(\frac{202}{91}\right)$

$-3 ext{y} = -12 + \frac{1212}{91}$

Pour simplifier, mettons tout sur 91 :

$-3 ext{y} = \frac{-12 \times 91}{91} + \frac{1212}{91}$

$-3 ext{y} = \frac{-1092 + 1212}{91}$

$-3 ext{y} = \frac{120}{91}$

$$y = \frac{120}{91 \times -3} = \frac{-40}{91}$$

Enfin, on utilise la première ligne, qui nous donne : $2 ext{x} + 4 ext{y} + 6 ext{z} = 18$. On remplace les valeurs de y et z qu'on vient de trouver :

$2 ext{x} + 4 \left(\frac{-40}{91}\right) + 6 \left(\frac{202}{91}\right) = 18$

$2 ext{x} - \frac{160}{91} + \frac{1212}{91} = 18$

$2 ext{x} + \frac{1052}{91} = 18$

$2 ext{x} = 18 - \frac{1052}{91}$

Mettons 18 sur 91 :

$2 ext{x} = \frac{18 \times 91}{91} - \frac{1052}{91}$

$2 ext{x} = \frac{1638 - 1052}{91}$

$2 ext{x} = \frac{586}{91}$

$$x = \frac{586}{91 \times 2} = \frac{293}{91}$$

Et voilà ! On a trouvé notre solution. Les valeurs sont :

$$x = \frac{293}{91}, \quad y = \frac{-40}{91}, \quad z = \frac{202}{91}$$

Ces fractions ne se simplifient pas davantage, c'est donc notre solution finale. C'est grâce à la puissance de l'élimination de Gauss qu'on a pu simplifier notre problème étape par étape. L'astuce, c'est de bien manipuler les lignes de la matrice pour obtenir une forme qui nous facilite la vie pour la résolution.

Simplification et optimisation des calculs

Au cours de notre résolution, on a vu qu'il était possible de simplifier certaines lignes pour rendre les calculs moins lourds. Par exemple, après avoir obtenu la première matrice, on aurait pu diviser la première ligne par 2 : $L_1 ightarrow L_1/2$. Ça aurait donné :

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 9 \\ 4 & 5 & 6 & | & 24 \\ 3 & 1 & -2 & | & 4 \end{bmatrix}$$

Avec un 1 comme pivot, les opérations pour annuler les éléments en dessous sont souvent plus simples. Par exemple, pour annuler le 4 de la deuxième ligne, on ferait $L_2 ightarrow L_2 - 4L_1$. Le 4 devient $4 - 4(1) = 0$. Pour annuler le 3 de la troisième ligne, on ferait $L_3 ightarrow L_3 - 3L_1$. Le 3 devient $3 - 3(1) = 0$. Ces opérations sont directement applicables et peuvent éviter des fractions pendant les premières étapes. La clé, c'est de toujours viser à obtenir des 1 sur la diagonale (les pivots) et des 0 en dessous, une ligne à la fois.

De même, dans notre processus, la deuxième ligne était $0, -3, -6, | -12$. On aurait pu simplifier cette ligne en la divisant par -3 : $L_2 ightarrow L_2 / (-3)$. Ça donne : $0, 1, 2, | 4$. Avec un 1 comme pivot dans la deuxième ligne, les calculs pour la troisième ligne deviennent plus aisés. L'objectif est d'arriver à une forme échelonnée, peu importe si les pivots sont 1 ou non, mais avoir des 1 simplifie grandement les étapes intermédiaires. L'important est la structure : des pivots qui avancent vers la droite et des zéros en dessous.

Il faut aussi savoir que le système peut avoir différentes solutions : une solution unique (comme dans notre cas), aucune solution (si on tombe sur une ligne du type $0 = 5$, ce qui est impossible), ou une infinité de solutions (si après l'échelonnement, il reste plus d'inconnues que d'équations non nulles).

La beauté de l'élimination de Gauss, c'est sa méthode systématique. On applique les mêmes règles, étape par étape, pour n'importe quel système d'équations linéaires. Même si les fractions peuvent sembler intimidantes, une calculatrice ou un peu de patience font l'affaire. Le résultat obtenu, $x = 293/91, y = -40/91, z = 202/91$, est la combinaison unique qui satisfait les trois équations de départ. On pourrait vérifier en remplaçant ces valeurs dans chaque équation originale pour s'assurer que tout est correct. C'est une méthode qui demande de la rigueur, mais qui est extrêmement fiable pour résoudre des systèmes, même complexes.

Commentaire d'expert : L'élimination de Gauss est une méthode fondamentale en algèbre linéaire, enseignée dès les premières années universitaires. Sa généralisation, l'élimination de Gauss-Jordan, permet de réduire la matrice à une forme échelonnée réduite, où les éléments au-dessus des pivots sont aussi rendus nuls, facilitant encore plus la lecture directe de la solution. La