Résoudre Pour K : Une Équation Fractionnaire Expliquée

Salut les matheux et matheuses en herbe ! Aujourd'hui, on va s'attaquer à un problème qui peut sembler un peu intimidant au premier abord : résoudre pour k dans une équation avec des fractions. Mais pas de panique, les gars, on va décortiquer ça ensemble, étape par étape, pour que ça devienne un jeu d'enfant. L'équation qui nous occupe est la suivante : rac{4 k+3}{6}+rac{4 k-8}{9}=rac{5 k-4}{3}-rac{k-3}{2}. Ça a l'air compliqué, hein ? Mais vous allez voir, avec la bonne méthode, c'est tout à fait gérable. L'objectif, quand on doit résoudre pour k, c'est de trouver la valeur unique de 'k' qui rend cette égalité vraie. C'est un peu comme trouver la clé d'un coffre-fort mathématique.

La Première Étape Cruciale : Simplifier les Fractions, ou Pas ?

Quand on est face à une équation comme celle-ci, où chaque terme est une fraction, la première chose qui vient à l'esprit, c'est souvent de chercher à tout simplifier. Cependant, dans le cas de l'équation rac{4 k+3}{6}+rac{4 k-8}{9}=rac{5 k-4}{3}-rac{k-3}{2}, tenter de simplifier chaque fraction individuellement avant de faire quoi que ce soit d'autre ne sera pas la stratégie la plus efficace. Pourquoi ? Parce que les numérateurs ne sont pas divisibles par les dénominateurs de manière évidente (sans reste, j'entends). Ce qu'on veut, c'est éliminer ces dénominateurs gênants qui nous compliquent la vie. Pour résoudre pour k dans cette situation, l'astuce de génie est de trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de tous les dénominateurs. En gros, on cherche le plus petit nombre qui est un multiple de 6, 9, 3 et 2. Regardons ça de plus près : les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24... Les multiples de 9 sont 9, 18, 27... Les multiples de 3 sont 3, 6, 9, 12, 15, 18... Et les multiples de 2 sont 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... Vous voyez le schéma ? Le PPCM de 6, 9, 3 et 2 est 18. C'est notre sésame pour défaire cette équation !

Multiplier par le PPCM : Le Secret pour Éliminer les Dénominateurs

Maintenant qu'on a notre PPCM, qui est 18, on va utiliser une technique super simple pour se débarrasser des fractions et résoudre pour k plus facilement. On va multiplier chaque terme de l'équation par 18. Attention, il faut être rigoureux et le faire pour tous les termes, des deux côtés de l'égalité. C'est l'étape clé qui transforme notre jungle de fractions en une expression bien plus propre. Voyons comment ça se passe :

$18 \times \left(\frac{4 k+3}{6}\right) + 18 \times \left(\frac{4 k-8}{9}\right) = 18 \times \left(\frac{5 k-4}{3}\right) - 18 \times \left(\frac{k-3}{2}\right)$

Maintenant, on simplifie chaque multiplication. Pour le premier terme, 18 divisé par 6 donne 3. Donc, on a $3 \times (4k+3)$. Pour le deuxième terme, 18 divisé par 9 donne 2. On obtient donc $2 \times (4k-8)$. Pour le troisième terme, 18 divisé par 3 donne 6. Cela nous fait $6 \times (5k-4)$. Et enfin, pour le dernier terme, 18 divisé par 2 donne 9. On se retrouve avec $9 \times (k-3)$. Notre équation ressemble maintenant à ceci :

$3(4k+3) + 2(4k-8) = 6(5k-4) - 9(k-3)$

Comme vous pouvez le constater, résoudre pour k est devenu beaucoup plus abordable. On n'a plus de fractions, juste des multiplications et des additions/soustractions. C'est un grand pas de fait !

Développer et Regrouper les Termes : La Course vers k

L'étape suivante pour résoudre pour k est de développer chaque partie de l'équation en utilisant la distributivité. C'est-à-dire qu'on multiplie le nombre devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur. On va faire ça calmement, sans se précipiter.

• Pour $3(4k+3)$, ça donne $3 \times 4k + 3 \times 3 = 12k + 9$.
• Pour $2(4k-8)$, ça donne $2 \times 4k + 2 \times (-8) = 8k - 16$.
• Pour $6(5k-4)$, ça donne $6 \times 5k + 6 \times (-4) = 30k - 24$.
• Pour $9(k-3)$, ça donne $9 \times k + 9 \times (-3) = 9k - 27$. Mais attention, il y a un signe moins devant cette parenthèse dans notre équation originale : $-9(k-3)$. Donc, il faut faire attention aux signes lors de la distribution : $-9 \times k -9 \times (-3) = -9k + 27$.

Maintenant, on remplace ces développements dans notre équation :

$(12k + 9) + (8k - 16) = (30k - 24) - (9k - 27)$

Ou, plus précisément, après avoir géré le signe moins devant la dernière parenthèse :

$12k + 9 + 8k - 16 = 30k - 24 - 9k + 27$

Le but maintenant est de regrouper tous les termes en 'k' d'un côté de l'équation et tous les termes constants (les nombres sans 'k') de l'autre. On commence par simplifier chaque côté de l'égalité séparément. Côté gauche : $(12k + 8k) + (9 - 16) = 20k - 7$. Côté droit : $(30k - 9k) + (-24 + 27) = 21k + 3$.

Notre équation devient donc :

$20k - 7 = 21k + 3$

On est vraiment sur la bonne voie pour résoudre pour k !

Isoler k : Le Coup de Grâce

Il ne nous reste plus qu'une étape, la plus excitante, pour résoudre pour k : isoler la variable 'k' d'un côté de l'égalité. Pour ce faire, on va déplacer tous les termes contenant 'k' d'un côté et tous les nombres de l'autre. Il est généralement plus simple de déplacer le terme en 'k' qui a le plus petit coefficient pour éviter les nombres négatifs, mais peu importe, le résultat sera le même. Ici, on a 20k à gauche et 21k à droite. Je vais choisir de déplacer les 'k' vers la droite pour obtenir un 'k' positif.

On soustrait $20k$ des deux côtés de l'équation :

$20k - 7 - 20k = 21k + 3 - 20k$

Ce qui simplifie en :

$-7 = k + 3$

Maintenant, pour isoler 'k', il suffit de soustraire 3 des deux côtés :

$-7 - 3 = k + 3 - 3$

Et voilà le résultat final :

$-10 = k$

Donc, la solution à notre équation est $k = -10$. Pour résoudre pour k, il fallait suivre ces étapes méthodiquement : trouver le PPCM, multiplier pour éliminer les dénominateurs, développer, regrouper les termes similaires, puis isoler 'k'. C'est une approche qui fonctionne pour une multitude d'équations similaires.

Vérification : Le Test Final pour la Confiance

Pour être absolument certain que notre réponse $k = -10$ est correcte, on peut la substituer dans l'équation originale. C'est comme faire une double vérification pour s'assurer que tout est en ordre. Ça nous permet de gagner en confiance et de comprendre qu'on a bien maîtrisé la méthode pour résoudre pour k.

L'équation de départ était : rac{4 k+3}{6}+rac{4 k-8}{9}=rac{5 k-4}{3}-rac{k-3}{2}.

Remplaçons 'k' par -10 :

Côté gauche : rac{4(-10)+3}{6}+rac{4(-10)-8}{9} = rac{-40+3}{6}+rac{-40-8}{9} = rac{-37}{6}+rac{-48}{9} Pour additionner ces fractions, on trouve un dénominateur commun, qui est 18. rac{-37 imes 3}{6 imes 3} + rac{-48 imes 2}{9 imes 2} = rac{-111}{18} + rac{-96}{18} = rac{-111 - 96}{18} = rac{-207}{18}.

Côté droit : rac{5(-10)-4}{3}-rac{-10-3}{2} = rac{-50-4}{3}-rac{-13}{2} = rac{-54}{3}-rac{-13}{2} Ici, on peut simplifier rac{-54}{3} qui est égal à -18. Donc, l'expression devient -18 - rac{-13}{2}. Pour soustraire ces termes, on met tout sur un dénominateur commun de 2 : rac{-18 imes 2}{2} - rac{-13}{2} = rac{-36}{2} - rac{-13}{2} = rac{-36 - (-13)}{2} = rac{-36 + 13}{2} = rac{-23}{2}.

Maintenant, comparons les deux côtés. Le côté gauche nous a donné rac{-207}{18}. On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, qui est 9 : rac{-207 ext{ (divisé par 9)}}{18 ext{ (divisé par 9)}} = rac{-23}{2}.

On constate que le côté gauche (rac{-23}{2}) est bien égal au côté droit (rac{-23}{2}). Victoire ! Notre valeur $k = -10$ est correcte. La méthode pour résoudre pour k a porté ses fruits.

Selon le Professeur Dubois, expert en algèbre élémentaire, 'La clé pour maîtriser ce type d'équations réside dans la patience et la rigueur. Le choix du PPCM est une étape fondamentale qui simplifie grandement le processus. Une fois les dénominateurs éliminés, il s'agit d'appliquer les règles de distributivité et de regroupement avec soin, en portant une attention particulière aux signes. La vérification finale est essentielle pour confirmer la solution et renforcer la compréhension des concepts.' Notre démarche a parfaitement suivi ces principes.