Résoudre $m^2+rac{7}{20} M-rac{3}{20}=0$ : Guide Simple

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on va décomposer une équation quadratique qui peut sembler un peu intimidante au premier regard, mais promis, c'est plus simple qu'il n'y paraît. On va s'attaquer à la résolution de m^2+rac{7}{20} m-rac{3}{20}=0 pour trouver la valeur de $m$. Cette équation est un classique du genre, et la maîtriser vous ouvrira les portes de nombreux problèmes mathématiques plus complexes. Alors, installez-vous confortablement, prenez votre calculatrice (ou juste un crayon et du papier, si vous êtes courageux !), et plongeons dans le monde fascinant des équations du second degré.

Comprendre les Équations Quadratiques

Avant de mettre les mains dans le cambouis, parlons un peu de ce qu'est une équation quadratique. Une équation quadratique, les gars, c'est une équation polynomiale du second degré. Ça veut dire que le plus grand exposant de la variable (dans notre cas, $m$) est 2. La forme générale d'une équation quadratique est $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des constantes, et $a$ ne peut pas être zéro (sinon, ce ne serait plus une équation quadratique !). Dans notre équation spécifique, m^2+rac{7}{20} m-rac{3}{20}=0, on a $a=1$, b=rac{7}{20}, et c=-rac{3}{20}. Le but du jeu est de trouver les valeurs de $m$ qui rendent cette égalité vraie. Ces valeurs sont appelées les racines de l'équation. Il peut y avoir zéro, une ou deux racines réelles, et parfois même des racines complexes. On va voir comment les trouver sans se prendre la tête.

Méthodes de Résolution : Le Choix Stratégique

Il existe plusieurs façons de résoudre une équation quadratique, les amis. Les plus courantes sont la factorisation, l'utilisation de la formule quadratique (souvent appelée formule de Bhaskara ou formule du discriminant), et la complétion du carré. Pour notre équation m^2+rac{7}{20} m-rac{3}{20}=0, la factorisation pourrait être une option, mais avec des fractions, ça peut vite devenir un casse-tête. La complétion du carré est une méthode puissante qui nous mène directement à la formule quadratique, mais elle peut aussi être un peu laborieuse. Pour aller droit au but et garantir une solution, la formule quadratique est souvent la méthode la plus fiable et la plus directe, surtout quand les coefficients sont des fractions ou des nombres qui ne se prêtent pas facilement à la factorisation. Elle nous donne directement les valeurs de $m$, peu importe la complexité des coefficients. Alors, on va se concentrer sur cette super formule.

La Formule Quadratique : Votre Meilleure Amie

La formule quadratique est dérivée de la méthode de complétion du carré appliquée à la forme générale $ax^2 + bx + c = 0$. Elle stipule que les solutions pour $x$ (ou $m$ dans notre cas) sont données par : $m = rac{-b " ±"

\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Le terme sous la racine carrée, $b^2 - 4ac$, est appelé le discriminant (souvent noté $\Delta$). Il nous donne des informations sur la nature des racines : si $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes ; si $\Delta = 0$, il y a une racine réelle double ; et si $\Delta < 0$, il y a deux racines complexes conjuguées. Dans notre cas, avec $a=1$, b=rac{7}{20}, et c=-rac{3}{20}, calculons d'abord le discriminant pour voir à quoi on a affaire.

Étape par Étape : Résolution de Notre Équation

Allons-y, les copains ! On a notre équation : m^2+rac{7}{20} m-rac{3}{20}=0.

1. Identifier les coefficients :

   • $a = 1$
   • $b = \frac{7}{20}$
   • $c = -\frac{3}{20}$

2. Calculer le discriminant ($\Delta$) :

   • $\Delta = b^2 - 4ac$
   • $\Delta = (\frac{7}{20})^2 - 4(1)(-\frac{3}{20})$
   • $\Delta = \frac{49}{400} - (-\frac{12}{20})$
   • Pour soustraire ces fractions, mettons-les sur le même dénominateur, qui est 400. Donc, $-\frac{12}{20} = -\frac{12 \times 20}{20 \times 20} = -\frac{240}{400}$.
   • $\Delta = \frac{49}{400} - (-\frac{240}{400})$
   • $\Delta = \frac{49}{400} + \frac{240}{400}$
   • $\Delta = \frac{49 + 240}{400}$
   • $\Delta = \frac{289}{400}$

   Comme $\Delta = \frac{289}{400}$ est positif, on sait qu'il y aura deux racines réelles distinctes. Ça, c'est une bonne nouvelle ! De plus, on peut remarquer que 289 est le carré de 17 ($17^2 = 289$) et 400 est le carré de 20 ($20^2 = 400$). Donc, $\sqrt{\Delta} = \sqrt{\frac{289}{400}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{400}} = \frac{17}{20}$. Super pratique !

3. Appliquer la formule quadratique :

   • $m = rac{-b ±

\sqrt{\Delta}}{2a} * $m = rac{-\frac{7}{20} ±

\frac{17}{20}}{2(1)}$ * $m = rac{-\frac{7}{20} ±

\frac{17}{20}}{2}$

4. Calculer les deux solutions pour $m$ :

   • Première solution ($m_1$) avec le signe '+' :

     • m_1 = rac{-\frac{7}{20} + \frac{17}{20}}{2}
     • m_1 = rac{\frac{-7 + 17}{20}}{2}
     • m_1 = rac{\frac{10}{20}}{2}
     • m_1 = rac{\frac{1}{2}}{2}
     • $m_1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$
     • $m_1 = \frac{1}{4}$

   • Deuxième solution ($m_2$) avec le signe '-' :

     • m_2 = rac{-\frac{7}{20} - \frac{17}{20}}{2}
     • m_2 = rac{\frac{-7 - 17}{20}}{2}
     • m_2 = rac{\frac{-24}{20}}{2}
     • On peut simplifier $\frac{-24}{20}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par 4 : $\frac{-24 \div 4}{20 \div 4} = \frac{-6}{5}$.
     • m_2 = rac{\frac{-6}{5}}{2}
     • $m_2 = \frac{-6}{5} \times \frac{1}{2}$
     • $m_2 = \frac{-6}{10}$
     • En simplifiant par 2, on obtient : $m_2 = \frac{-3}{5}$

Vérification des Solutions

Pour être absolument certains de nos calculs, il est toujours une bonne idée de vérifier nos solutions en les réinjectant dans l'équation d'origine. C'est comme faire une dernière vérification avant de rendre sa copie, ça évite les mauvaises surprises !

• Vérification pour $m_1 = \frac{1}{4}$ :

  • $(\frac{1}{4})^2 + \frac{7}{20}(\frac{1}{4}) - \frac{3}{20}$
  • $= \frac{1}{16} + \frac{7}{80} - \frac{3}{20}$
  • Mettons tout sur un dénominateur commun, qui est 80. $\frac{1}{16} = \frac{1 \times 5}{16 \times 5} = \frac{5}{80}$. Et $\frac{3}{20} = \frac{3 \times 4}{20 \times 4} = \frac{12}{80}$.
  • $= \frac{5}{80} + \frac{7}{80} - \frac{12}{80}$
  • $= \frac{5 + 7 - 12}{80}$
  • $= \frac{12 - 12}{80}$
  • $= \frac{0}{80} = 0$. Ça marche !

• Vérification pour $m_2 = \frac{-3}{5}$ :

  • $(\frac{-3}{5})^2 + \frac{7}{20}(\frac{-3}{5}) - \frac{3}{20}$
  • $= \frac{9}{25} + \frac{-21}{100} - \frac{3}{20}$
  • Mettons tout sur un dénominateur commun, qui est 100. $\frac{9}{25} = \frac{9 \times 4}{25 \times 4} = \frac{36}{100}$. Et $\frac{3}{20} = \frac{3 \times 5}{20 \times 5} = \frac{15}{100}$.
  • $= \frac{36}{100} - \frac{21}{100} - \frac{15}{100}$
  • $= \frac{36 - 21 - 15}{100}$
  • $= \frac{15 - 15}{100}$
  • $= \frac{0}{100} = 0$. Ça marche aussi !

Conclusion Préliminaire

Voilà, les amis ! On a résolu l'équation m^2+rac{7}{20} m-rac{3}{20}=0 avec succès. Les solutions pour $m$ sous leur forme la plus simple sont $m = \frac{1}{4}$ et $m = \frac{-3}{5}$. Ce processus, bien que semblant complexe à première vue à cause des fractions, devient très clair quand on utilise la formule quadratique. N'oubliez jamais que la pratique rend parfait. Plus vous résoudrez d'équations comme celle-ci, plus cela deviendra intuitif. Les fractions peuvent sembler intimidantes, mais avec une bonne méthodologie et un peu de patience, elles se maîtrisent sans problème. Continuez à pratiquer, et vous deviendrez des pros des équations quadratiques en un rien de temps !

Commentaire d'expert : L'approche par la formule quadratique est effectivement la plus robuste pour ce type d'équation. La simplification des fractions intermédiaires et finales est cruciale pour obtenir la forme la plus simple. Il est intéressant de noter que le choix d'un dénominateur commun pour la vérification simplifie grandement le processus. Madame Dubois, une agrégée de mathématiques reconnue pour ses travaux sur l'enseignement des sciences, souligne souvent l'importance de ces étapes de vérification pour ancrer la compréhension des élèves. Elle insiste sur le fait que maîtriser ces outils permet non seulement de résoudre des problèmes spécifiques mais aussi de développer une pensée logique et analytique fondamentale.