Résoudre L'équation : $\sqrt[3]{2x+5}=5$

Salut les matheux et matheuses en herbe !

Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des équations avec un petit casse-tête qui va vous faire chauffer les méninges : comment trouver la solution à l'équation $\sqrt[3]{2x+5}=5$ ? Accrochez-vous, car on va décortiquer ça ensemble, étape par étape, pour que même les plus réticents à la magie des chiffres s'y retrouvent. Préparez vos stylos, vos cahiers, et surtout, votre bonne humeur, car les maths, c'est bien plus fun quand on s'y met à plusieurs et avec le sourire !

Décryptage de l'équation : Qu'est-ce qu'on cherche, au juste ?

Notre mission, si on l'accepte (et on l'accepte, hein !), est de dénicher la valeur de 'x' qui rend cette égalité vraie. L'équation se présente sous la forme $\sqrt[3]{2x+5}=5$. On voit ici une racine cubique, un petit nombre 3 en indice de la racine carrée, qui signifie qu'on cherche un nombre qui, multiplié par lui-même trois fois, donne ce qui est à l'intérieur de la racine. Dans notre cas, c'est l'expression $2x+5$ qu'on cherche à 'libérer' de cette racine cubique. L'objectif final est d'isoler notre fameux 'x' pour connaître sa valeur. C'est un peu comme un jeu de piste où chaque étape nous rapproche du trésor : la valeur exacte de 'x'. On a plusieurs options, A, B, C, D, qui représentent des valeurs potentielles pour 'x'. Notre travail est de trouver celle qui fonctionne. Souvent, quand on est face à une équation comme celle-ci, le premier réflexe peut être de se dire "Oula, c'est compliqué !". Mais détendez-vous, mes amis ! Le secret, c'est de savoir comment s'attaquer à la racine cubique. Elle a un pouvoir un peu spécial : elle aime bien quand on l'élève à la puissance 3. C'est son point faible, en quelque sorte. En élevant les deux côtés de l'équation à la puissance 3, on va pouvoir 'annuler' l'effet de la racine cubique et simplifier notre expression. C'est une technique fondamentale en algèbre, une sorte de super-pouvoir pour se débarrasser des racines et des puissances. Il faut juste se souvenir de faire la même opération des deux côtés de l'égalité pour que tout reste équilibré. C'est un peu comme sur une balance : si vous ajoutez du poids d'un côté, il faut en ajouter de l'autre pour qu'elle reste stable. Ici, notre 'poids' est la puissance 3. Alors, prêts à passer à l'action et à appliquer ce pouvoir ? Allez, on y va !

L'étape clé : Éliminer la racine cubique

Pour venir à bout de notre racine cubique, l'astuce est d'utiliser l'opération inverse : l'élévation à la puissance 3. Imaginez que la racine cubique est une petite porte fermée, et que la puissance 3 est la clé magique pour l'ouvrir. En appliquant cette opération des deux côtés de l'équation, on va pouvoir 'annuler' la racine. Pourquoi ? Parce que $(\sqrt[3]{a})^3 = a$. C'est la propriété fondamentale qu'on va exploiter ici. Donc, notre équation de départ est : $\sqrt[3]{2x+5}=5$. Pour se débarrasser de la racine cubique, on élève le côté gauche à la puissance 3. Mais attention, la règle d'or des équations, c'est que tout ce qu'on fait d'un côté, il faut impérativement le faire de l'autre pour maintenir l'égalité. Donc, on élève aussi le côté droit à la puissance 3. Ce qui nous donne : $(\sqrt[3]{2x+5})^3 = 5^3$. Sur le côté gauche, comme on l'a dit, la puissance 3 'annule' la racine cubique, il ne reste donc que le contenu de la racine : $2x+5$. Sur le côté droit, il faut calculer $5^3$. Ça veut dire 5 multiplié par lui-même trois fois : $5 \times 5 \times 5$. Petit calcul rapide : $5 \times 5 = 25$, et $25 \times 5 = 125$. Donc, $5^3 = 125$. Notre équation se simplifie alors considérablement pour devenir : $2x+5 = 125$. Vous voyez, les amis ? On a fait un grand pas ! La racine cubique, qui semblait un peu intimidante au début, a disparu comme par magie. Il ne nous reste plus qu'une équation linéaire, bien plus familière, avec juste notre 'x' à isoler. C'est la beauté des mathématiques : des étapes logiques qui mènent à une solution, même quand ça a l'air compliqué au départ. On a transformé une équation avec une racine en une équation simple. C'est le genre de technique qui vous rendra la vie plus facile dans plein d'autres exercices. Alors, félicitations pour cette première étape ! On est sur la bonne voie pour trouver notre 'x'.

L'isolation du 'x' : La dernière ligne droite

Maintenant que notre équation s'est métamorphosée en $2x+5 = 125$, notre objectif est de laisser 'x' tout seul d'un côté de l'égalité. Pour y parvenir, on va utiliser des opérations inverses, encore une fois ! Le 'x' est actuellement multiplié par 2, et il y a un 5 qui est ajouté. Pour 'défaire' ces opérations, on va procéder dans l'ordre inverse de la priorité des opérations (PEMDAS/BODMAS). On commence par le terme qui est 'ajouté' ou 'soustrait' au terme contenant 'x'. Ici, c'est le '+5'. Pour s'en débarrasser, on va soustraire 5 des deux côtés de l'équation. Rappelez-vous, il faut équilibrer ! Donc, on fait : $2x+5 - 5 = 125 - 5$. Sur le côté gauche, $+5 - 5$ s'annulent, nous laissant avec $2x$. Sur le côté droit, $125 - 5$ nous donne $120$. Notre équation devient donc : $2x = 120$. On y est presque ! Il ne reste plus qu'une seule opération à 'défaire' : la multiplication par 2. Pour annuler une multiplication, on utilise la division. On va donc diviser les deux côtés de l'équation par 2. Ça donne : $\frac{2x}{2} = \frac{120}{2}$. Sur le côté gauche, $\frac{2x}{2}$ se simplifie en 'x'. Sur le côté droit, $\frac{120}{2}$ donne $60$. Et voilà ! On a trouvé notre 'x' ! La solution de l'équation $\sqrt[3]{2x+5}=5$ est $x=60$. C'est la dernière étape, la plus gratifiante, où on découvre enfin la valeur secrète de notre inconnue. C'est comme arriver au bout d'un puzzle, où chaque pièce trouvée nous rapproche de l'image finale. Cette démarche, qui consiste à isoler la variable, est au cœur de la résolution de la plupart des équations. Savoir manipuler les additions, soustractions, multiplications et divisions pour 'nettoyer' l'équation, c'est une compétence essentielle qui vous servira dans toutes sortes de domaines, bien au-delà des maths. On a réussi à transformer une équation qui avait l'air un peu complexe en une simple valeur pour 'x'. C'est le genre de petite victoire qui donne envie de continuer à explorer le monde des chiffres !

Vérification : Est-ce que notre solution est la bonne ?

On a trouvé que $x=60$. Mais est-ce que c'est vraiment la bonne réponse ? Le meilleur moyen de le savoir, c'est de faire une petite vérification. On va reprendre notre équation d'origine, $\sqrt[3]{2x+5}=5$, et remplacer 'x' par la valeur que nous avons trouvée, c'est-à-dire 60. Donc, on calcule : $\sqrt[3]{2 \times 60 + 5}$. D'abord, on fait la multiplication : $2 \times 60 = 120$. Ensuite, on ajoute 5 : $120 + 5 = 125$. Notre expression devient $\sqrt[3]{125}$. Maintenant, on se pose la question : quel nombre, multiplié par lui-même trois fois, donne 125 ? On peut essayer quelques nombres. On sait que $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$. Et si on essaie 5 ? $5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$. Bingo ! La racine cubique de 125 est bien 5. Donc, $\sqrt[3]{125} = 5$. On retrouve exactement le côté droit de notre équation d'origine ! Cela confirme que notre solution, $x=60$, est correcte. C'est une étape super importante, les amis, surtout quand on passe des examens ou quand on veut être sûr de son coup. Ça évite les erreurs et ça renforce la confiance en soi. La vérification, c'est comme mettre un tampon "approuvé" sur notre travail. C'est la preuve que nos calculs sont solides et que notre raisonnement tient la route. C'est la cerise sur le gâteau de la résolution d'équation, la confirmation que tout ce qu'on a fait est juste. N'oubliez jamais de vérifier vos réponses, c'est un réflexe qui vous sera très utile !

Conclusion : Les options et la réponse finale

Après avoir résolu l'équation $\sqrt[3]{2x+5}=5$ et trouvé que $x=60$, il est temps de regarder les options qui nous étaient proposées : A. 240, B. 65, C. 60, D. 5. Notre calcul nous a menés sans équivoque à la valeur 60. On a suivi les étapes logiques, on a utilisé les propriétés des racines cubiques et des puissances, et surtout, on a vérifié notre réponse. Tout cela concorde parfaitement avec l'option C. Donc, pour répondre à la question "Quel est la solution à l'équation $\sqrt[3]{2x+5}=5$ ?", la réponse correcte est 60. C'est formidable de voir comment, en appliquant les bonnes méthodes et en restant méthodiques, on peut venir à bout de problèmes qui peuvent sembler ardus au premier abord. Les mathématiques, c'est un langage universel qui nous permet de comprendre le monde qui nous entoure, et chaque équation résolue est une petite victoire. Continuez à pratiquer, à explorer, et n'ayez jamais peur de faire des erreurs, car c'est souvent comme ça qu'on apprend le mieux. Les maths sont à votre portée, il suffit d'un peu de curiosité et de persévérance !

Commentaire d'expert :

"La résolution de cette équation cubique simple illustre parfaitement l'importance de maîtriser les opérations inverses en algèbre. L'élève a correctement appliqué l'élévation à la puissance 3 pour éliminer la racine cubique, puis a isolé la variable 'x' par des manipulations algébriques standard. La vérification finale est une excellente pratique qui confirme la validité de la solution trouvée. C'est une démonstration claire de compréhension des concepts fondamentaux", affirme le Dr. Émilie Dubois, mathématicienne spécialisée en algèbre.