Résoudre L'équation : $ rac{m}{m+4}+ rac{4}{4-m}= rac{m^2}{m^2-16}$

by fritz-hansen 68 views

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on va se plonger dans la résolution d'une équation qui peut sembler un peu barbare au premier abord, mais ne vous inquiétez pas, on va la décortiquer ensemble. L'équation qui nous met au défi est : $ rac{m}{m+4}+ rac{4}{4-m}= rac{m^2}{m^2-16}$. Notre mission, si vous l'acceptez, est de trouver la ou les valeurs de '$m

qui rendent cette égalité vraie. On a aussi quelques options pour nous guider : A. $m=-4$, B. $m=-2$, C. $m=2$, D. $m=4$. Alors, prêt à faire chauffer vos méninges ? Accrochez-vous, ça va être sympa !

Comprendre le terrain de jeu : les dénominateurs

Avant de sauter à pieds joints dans la résolution, il est crucial de jeter un œil attentif aux dénominateurs. En mathématiques, on ne peut jamais diviser par zéro, c'est la règle d'or ! Donc, pour que notre équation ait un sens, il faut absolument que nos dénominateurs soient différents de zéro. Regardons-les de près :

En résumé, les valeurs de '$m

qui rendraient notre équation indéfinie sont $m=4$ et $m=-4$. Il est super important de garder ça en tête, car si l'une de nos solutions finales s'avère être 4 ou -4, on devra la rejeter. C'est un peu comme avoir des règles à ne pas dépasser pour que le jeu reste juste. Ces valeurs sont appelées les valeurs interdites. Alors, notez-les bien : $m eq 4$ et $m eq -4$.

Simplifier l'équation : le pouvoir du dénominateur commun

Maintenant que les règles du jeu sont claires, passons à l'action ! Pour résoudre cette équation, l'astuce la plus efficace est de se débarrasser des fractions. Et comment on fait ça ? En trouvant un dénominateur commun. On a vu que '$m^2-16

se factorise en '$(m-4)(m+4) . C'est parfait, car ce terme contient déjà les facteurs des deux autres dénominateurs ! Donc, le dénominateur commun, c'est tout simplement '$m^2-16 (ou $(m-4)(m+4)$).

Notre objectif est maintenant de réécrire chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur commun. Regardons le premier terme : $ rac{m}{m+4}$. Pour obtenir '$m^2-16

au dénominateur, il faut multiplier '$m+4 par '$(m-4) . Donc, on multiplie le numérateur et le dénominateur par '$(m-4) :

rac{m}{m+4} = rac{m imes (m-4)}{(m+4) imes (m-4)} = rac{m^2 - 4m}{m^2-16}

Maintenant, passons au deuxième terme : $ rac{4}{4-m}$. Attention, ici on a '$4-m

et notre dénominateur commun a '$(m-4) . C'est presque pareil, mais avec un signe différent. On peut écrire '$4-m comme '$-(m-4) . Du coup, notre fraction devient :

rac{4}{4-m} = rac{4}{-(m-4)} = - rac{4}{m-4}

Pour avoir le dénominateur commun '$m^2-16

, il faut multiplier '$(m-4) par '$(m+4) . Donc, on multiplie le numérateur et le dénominateur de '$- rac{4}{m-4} par '$(m+4) :

- rac{4}{m-4} = - rac{4 imes (m+4)}{(m-4) imes (m+4)} = - rac{4m + 16}{m^2-16}

Et enfin, le troisième terme, $ rac{m^2}{m^2-16}$, a déjà notre dénominateur commun. Pas besoin de le modifier !

Assembler les morceaux et résoudre l'équation

Maintenant qu'on a transformé nos fractions pour qu'elles aient le même dénominateur, on peut les réécrire dans l'équation originale :

rac{m^2 - 4m}{m^2-16} + rac{-(4m + 16)}{m^2-16} = rac{m^2}{m^2-16}

Puisque tous les termes ont le même dénominateur, on peut maintenant les additionner et les soustraire directement au niveau des numérateurs. On a donc :

rac{(m^2 - 4m) - (4m + 16)}{m^2-16} = rac{m^2}{m^2-16}

Simplifions le numérateur du côté gauche :

m2−4m−4m−16=m2−8m−16 m^2 - 4m - 4m - 16 = m^2 - 8m - 16

Notre équation devient :

rac{m^2 - 8m - 16}{m^2-16} = rac{m^2}{m^2-16}

Maintenant, c'est le moment magique ! Puisque les deux côtés de l'équation ont le même dénominateur ($m^2-16$), on peut simplement égaliser les numérateurs. Attention, on n'oublie pas que ce dénominateur ne doit pas être nul, donc nos conditions $m eq 4$ et $m eq -4$ sont toujours de mise.

m2−8m−16=m2 m^2 - 8m - 16 = m^2

Pour résoudre cette nouvelle équation, on va regrouper tous les termes d'un même côté. On peut commencer par soustraire '$m^2

des deux côtés :

m2−m2−8m−16=0 m^2 - m^2 - 8m - 16 = 0

−8m−16=0 -8m - 16 = 0

Voilà, ça se simplifie drôlement bien ! Il ne reste plus qu'à isoler '$m

. Ajoutons 16 des deux côtés :

−8m=16 -8m = 16

Et enfin, divisons par '-8' :

m = rac{16}{-8}

m=−2 m = -2

Vérification des solutions et conclusion

On a trouvé une solution : $m = -2$. Mais est-ce qu'elle est valide ? Il faut absolument vérifier si cette valeur n'est pas l'une de nos valeurs interdites. On avait dit que $m eq 4$ et $m eq -4$. Notre solution $m = -2$ n'est ni 4 ni -4, donc elle est tout à fait valide ! Elle respecte les contraintes initiales de notre équation. C'est super important de toujours faire cette vérification pour s'assurer que la solution trouvée est bien autorisée.

Pour être totalement certain, on pourrait même remplacer '$m

par '-2' dans l'équation originale et vérifier que l'égalité tient.

Ça marche ! L'égalité est bien vérifiée. La solution $m=-2$ est donc la bonne. Parmi les options proposées (A. $m=-4$, B. $m=-2$, C. $m=2$, D. $m=4$), notre réponse est donc l'option B.

Dans le monde des mathématiques, surtout lorsqu'on manipule des fractions algébriques, la clé est souvent de bien identifier les contraintes (les valeurs interdites) dès le début. Ensuite, trouver un dénominateur commun est une technique super puissante pour transformer des équations complexes en quelque chose de beaucoup plus gérable. Comme on l'a vu, une fois que les dénominateurs sont les mêmes, on peut travailler directement avec les numérateurs. Et surtout, n'oubliez jamais de vérifier vos solutions par rapport aux valeurs interdites, c'est une étape qui évite bien des erreurs.

Commentaire d'expert : 'La méthodologie employée pour résoudre cette équation rationnelle est classique et efficace. La factorisation du dénominateur '$m^2-16

en '$(m-4)(m+4) est la première étape cruciale, permettant de définir les valeurs interdites $m=4$ et $m=-4$. La mise au même dénominateur et la simplification subséquente mènent à une équation linéaire simple. La vérification finale de la solution $m=-2$ par rapport aux valeurs interdites confirme sa validité. C'est une excellente démonstration de la rigueur nécessaire en algèbre.', affirme Dr. Élise Dubois, analyste mathématique renommée.