Résoudre L'équation Logarithmique $\log _3 X + \log _3(2x+1) = 1$

Salut les geeks des maths et bienvenue sur notre blog ! Aujourd'hui, on plonge dans l'univers fascinant des équations logarithmiques. On va décortiquer ensemble une petite pépite : l'équation $\log _3 x+\log _3(2 x+1)=1$. Vous vous demandez comment on s'y prend ? Pas de panique, on va vous guider pas à pas, avec des astuces et des explications claires pour que ça devienne un jeu d'enfant. Préparez vos méninges, ça va être passionnant !

Comprendre les Bases des Équations Logarithmiques

Avant de se lancer tête baissée dans la résolution de notre équation du jour, faisons un petit rappel sur ce que sont les logarithmes et comment ils fonctionnent. Un logarithme, c'est en gros l'opération inverse de l'exponentiation. Quand on dit $\log_b a = c$, ça signifie que $b^c = a$. Par exemple, $\log_2 8 = 3$ parce que $2^3 = 8$. Facile, non ? Dans notre équation, on a des logarithmes en base 3 ($\log_3$). Cela signifie qu'on cherche la puissance à laquelle il faut élever 3 pour obtenir le nombre en question.

Maintenant, parlons des propriétés des logarithmes, car c'est elles qui vont nous sauver la mise. La propriété la plus utile ici est celle qui concerne la somme des logarithmes : $\log_b M + \log_b N = \log_b (M \times N)$. En gros, quand on additionne des logarithmes de même base, on peut les transformer en un seul logarithme du produit des arguments. C'est le premier outil indispensable pour attaquer notre problème. Une autre propriété super importante, c'est la définition même du logarithme : si $\log_b x = y$, alors $x = b^y$. Gardez ça en tête, ça sera notre arme secrète pour sortir le $x$ de son rôle de logarithme.

Enfin, n'oublions pas les conditions d'existence. Pour qu'un logarithme $\log_b a$ soit défini, il faut impérativement que l'argument $a$ soit strictement positif ($a > 0$). Dans notre équation $\log_3 x+\log_3(2 x+1)=1$, on a deux arguments : $x$ et $2x+1$. Donc, pour que notre équation ait un sens, il faut que $x > 0$ ET que $2x+1 > 0$. La deuxième condition, $2x+1 > 0$, se traduit par $2x > -1$, donc $x > -1/2$. Pour que les deux conditions soient remplies simultanément, il faut donc que $x$ soit strictement supérieur à 0. Cette contrainte $x > 0$ est cruciale, car elle nous permettra de rejeter toute solution qui ne respecterait pas cette règle. C'est un peu comme le garde-fou de notre équation, il faut absolument s'en souvenir pour ne pas se tromper. Pensez-y comme à la règle du jeu : sans elle, tout devient fou !

En résumé, pour résoudre une équation logarithmique, on utilise les propriétés pour simplifier l'expression, on transforme le logarithme en équation exponentielle, et surtout, on vérifie que les solutions trouvées respectent les conditions d'existence. Avec ces bases solides, on est prêts à conquérir notre équation $\log_3 x+\log_3(2 x+1)=1$.

La Résolution Étape par Étape de l'Équation

Allez, on passe à l'action avec notre équation : $\log _3 x+\log _3(2 x+1)=1$. La première chose à faire, comme on l'a vu, c'est d'appliquer la propriété de la somme des logarithmes. On transforme donc le côté gauche de l'équation : $\log_3 (x \times (2x+1)) = 1$. Ça, c'est notre premier coup de maître ! On a réussi à regrouper les deux logarithmes en un seul. Le produit $x \times (2x+1)$ nous donne $2x^2 + x$. Notre équation devient donc : $\log_3 (2x^2 + x) = 1$.

Maintenant, il faut se débarrasser du logarithme. Rappelez-vous de la définition : si $\log_b a = c$, alors $a = b^c$. Dans notre cas, $b=3$, $a=2x^2+x$, et $c=1$. En appliquant cette définition, on obtient l'équation exponentielle équivalente : $2x^2 + x = 3^1$. Et comme $3^1$ est tout simplement 3, notre équation se simplifie en : $2x^2 + x = 3$.

Voilà ! On a transformé notre équation logarithmique, qui pouvait sembler intimidante au début, en une simple équation du second degré. C'est le moment de sortir les formules magiques pour les équations du type $ax^2 + bx + c = 0$. Pour cela, il faut d'abord mettre notre équation sous la forme standard en ramenant tous les termes d'un côté : $2x^2 + x - 3 = 0$.

Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant, noté $\Delta$. La formule est $\Delta = b^2 - 4ac$. Dans notre cas, $a=2$, $b=1$, et $c=-3$. Donc, $\Delta = (1)^2 - 4 \times (2) \times (-3) = 1 - (-24) = 1 + 24 = 25$. Comme $\Delta$ est positif ($\Delta = 25 > 0$), notre équation a deux solutions réelles distinctes. On utilise alors les formules pour trouver ces solutions : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Calculons ces deux solutions :

• Première solution ($x_1$) : $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
• Deuxième solution ($x_2$) : $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \times 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

On a donc trouvé deux solutions potentielles : $x_1 = -3/2$ et $x_2 = 1$. Mais attention, le jeu n'est pas encore terminé ! Il nous reste une étape absolument cruciale : vérifier ces solutions par rapport aux conditions d'existence que nous avions établies au début.

Vérification des Solutions et Conclusion Mathématique

C'est le moment de vérité, les amis ! On a obtenu deux candidats pour notre solution : $x_1 = -3/2$ et $x_2 = 1$. Rappelez-vous, au tout début, on avait dit que pour que notre équation $\log_3 x+\log_3(2x+1)=1$ ait un sens, il fallait absolument que $x > 0$. C'était notre condition d'existence clé, celle qui garantit que les arguments des logarithmes sont positifs. Sans cette vérification, on risque de tomber dans des pièques mathématiques.

Analysons notre première solution, $x_1 = -3/2$. Est-ce que $-3/2 > 0$ ? Non, c'est faux ! Puisque cette valeur ne respecte pas notre condition d'existence ($x > 0$), elle ne peut pas être une solution valide pour notre équation. On doit donc la rejeter. C'est comme si elle n'avait jamais existé dans le monde des nombres réels pour cette équation particulière. C'est une solution