Résoudre L'équation : $\frac{x^2-x-6}{x^2}=\frac{x-6}{2 X}+\frac{2 X+12}{x}$

Salut les matheux et matheuses !

Aujourd'hui, on se penche sur un petit casse-tête algébrique qui va nous demander un peu de concentration. Vous êtes prêts à décortiquer cette équation ensemble ? On parle ici de trouver les solutions de l'équation $\frac{x^2-x-6}{x^2}=\frac{x-6}{2 x}+\frac{2 x+12}{x}$. L'objectif est de mettre la main sur les valeurs de 'x' qui rendent cette égalité vraie. On va commencer par simplifier cette bête avant de pouvoir la résoudre, un peu comme déminer un champ de mines, mais avec des chiffres et des lettres ! Accrochez-vous, parce qu'après simplification, on obtient une équation quadratique du tonnerre : $3 x^2+20 x+12=0$. Et là, mes amis, c'est le moment de sortir les armes secrètes pour trouver ces fameuses solutions.

La Mise en Place : Comprendre le Terrain de Jeu

Avant de plonger tête la première dans la résolution, il est crucial de comprendre ce qu'on a devant nous. L'équation de départ, $\frac{x^2-x-6}{x^2}=\frac{x-6}{2 x}+\frac{2 x+12}{x}$, est une équation rationnelle. Ça veut dire qu'on a des expressions algébriques sous forme de fractions, avec des 'x' au dénominateur. Et qui dit 'x' au dénominateur, dit qu'il faut faire super attention aux valeurs qui rendent ces dénominateurs nuls. Si $x=0$, notre équation devient un vrai labyrinthe sans issue ! Donc, dès le départ, on note que $x \neq 0$. C'est notre première règle du jeu, indispensable pour éviter les divisions par zéro et les résultats bidons. Ensuite, on observe les différents dénominateurs : $x^2$, $2x$, et $x$. Le plus grand dénominateur commun (ou plus petit, ici, ça revient au même car on cherche à éliminer les fractions) est $x^2$. C'est notre fameux LCD (Least Common Denominator). Notre mission, si on l'accepte, est de multiplier chaque terme de l'équation par ce LCD pour se débarrasser de toutes ces fractions et obtenir une équation plus simple à manipuler. Pensez-y comme si on nivelait le terrain pour pouvoir construire notre solution dessus. La préparation est souvent la clé du succès, surtout en mathématiques. On va donc multiplier chaque membre de l'égalité par $x^2$. Le membre de gauche deviendra simplement $x^2-x-6$. Pour le membre de droite, il faudra distribuer le $x^2$ à chaque fraction : $(\frac{x-6}{2 x}) \times x^2$ et $(\frac{2 x+12}{x}) \times x^2$. C'est là que la magie opère et que les simplifications commencent. On va voir comment ça se passe dans le paragraphe suivant, mais retenez bien cette étape de multiplication par le LCD, c'est le pivot de la transformation de notre équation.

Le Grand Nettoyage : Simplification et Transformation

Maintenant qu'on a identifié le LCD et qu'on est prêts à l'utiliser, passons à l'étape cruciale de la simplification. On a décidé de multiplier chaque côté de l'équation $\frac{x^2-x-6}{x^2}=\frac{x-6}{2 x}+\frac{2 x+12}{x}$ par $x^2$. Voyons ce que ça donne concrètement. Pour le membre de gauche, c'est un jeu d'enfant : $(\frac{x^2-x-6}{x^2}) \times x^2 = x^2-x-6$. Les $x^2$ s'annulent, et hop, on a une expression polynomiale simple. Maintenant, attaquons le membre de droite, qui demande un peu plus de travail. On distribue le $x^2$ à chaque terme : $(\frac{x-6}{2 x}) \times x^2 + (\frac{2 x+12}{x}) \times x^2$. Pour le premier terme, $(\frac{x-6}{2 x}) \times x^2$, on peut simplifier un 'x' du dénominateur avec un 'x' du numérateur (puisque $x^2 = x \times x$). Ça nous donne $\frac{x-6}{2} \times x = \frac{x(x-6)}{2}$. Pour le second terme, $(\frac{2 x+12}{x}) \times x^2$, on fait la même chose : on simplifie un 'x' du dénominateur avec un 'x' du numérateur. On obtient $(2x+12) \times x = x(2x+12)$. Notre équation devient donc : $x^2-x-6 = \frac{x(x-6)}{2} + x(2x+12)$.

Avant de continuer, il faut être vigilant. On a simplifié des 'x', mais on n'a pas encore traité le dénominateur '2' dans le premier terme du membre de droite. Pour éliminer ce dernier vestige de fraction, on peut choisir de multiplier toute l'équation par 2. Ça va nous permettre d'avoir une équation sans aucune fraction. Multiplions donc par 2 : $2 \times (x^2-x-6) = 2 \times (\frac{x(x-6)}{2}) + 2 \times (x(2x+12))$. Cela nous donne : $2x^2-2x-12 = x(x-6) + 2x(2x+12)$.

Maintenant, il faut développer et regrouper les termes pour arriver à l'équation promise : $3x^2+20x+12=0$. Développons : $2x^2-2x-12 = (x^2-6x) + (4x^2+24x)$. Regroupons les termes similaires : $2x^2-2x-12 = x^2+4x^2-6x+24x$. Ce qui donne : $2x^2-2x-12 = 5x^2+18x$. Pour arriver à notre forme $Ax^2+Bx+C=0$, il faut tout ramener d'un côté. Soustrayons $2x^2$, ajoutons $2x$ et ajoutons $12$ de chaque côté pour annuler le membre de gauche : $0 = 5x^2 - 2x^2 + 18x + 2x + 12$. Et voilà le travail : $0 = 3x^2 + 20x + 12$. On y est ! L'équation est simplifiée en $3x^2+20x+12=0$. Pas mal, non ? On a transformé une équation rationnelle compliquée en une belle équation quadratique prête à être résolue.

La Recherche des Trésors : Résoudre l'Équation Quadratique

On arrive au cœur du sujet, les solutions de notre équation. Après toute cette gymnastique algébrique, on a abouti à la forme classique d'une équation du second degré : $3x^2+20x+12=0$. Pour trouver les valeurs de 'x' qui satisfont cette équation, on a plusieurs outils à notre disposition. La méthode la plus universelle et la plus fiable est la formule quadratique, aussi connue sous le nom de formule de résolution des équations du second degré. Elle nous dit que pour une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, les solutions sont données par $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Dans notre cas, on a $a=3$, $b=20$, et $c=12$. Calculons d'abord le discriminant, $\Delta = b^2-4ac$, qui nous dira combien de solutions réelles on a. $\Delta = (20)^2 - 4 \times 3 \times 12 = 400 - 144 = 256$. Comme $\Delta > 0$, on a deux solutions réelles distinctes. C'est une bonne nouvelle ! La racine carrée de 256 est 16, ce qui simplifie grandement les calculs : $\sqrt{256} = 16$.

Maintenant, appliquons la formule pour trouver nos deux solutions : $x_1 = \frac{-20 + 16}{2 \times 3}$ et $x_2 = \frac{-20 - 16}{2 \times 3}$. Pour $x_1$ : $x_1 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$. Et pour $x_2$ : $x_2 = \frac{-36}{6} = -6$. On a donc trouvé nos deux solutions : $x = -6$ et $x = -\frac{2}{3}$.

Il est absolument fondamental de vérifier que ces solutions sont valides par rapport à nos restrictions initiales. On avait dit que $x \neq 0$. Nos solutions, -6 et -2/3, sont bien différentes de zéro. Donc, pas de souci de ce côté-là. Elles sont les vraies solutions de l'équation initiale. On peut même s'amuser à les reporter dans l'équation de départ pour vérifier, mais faites-moi confiance, elles fonctionnent ! Cette étape de vérification est super importante pour éviter de donner des solutions qui rendent les dénominateurs nuls.

La Vérification Finale : Assurer la Validité des Solutions

On a fait tout le travail acharné pour arriver à deux solutions potentielles : $x=-6$ et $x=-\frac{2}{3}$. Mais en mathématiques, comme dans la vie, il faut toujours vérifier son travail, surtout quand on jongle avec des fractions. La règle d'or qu'on a établie au tout début, c'est que $x$ ne doit jamais être égal à zéro, car cela rendrait les dénominateurs de l'équation originale nuls. Heureusement, nos deux solutions que sont -6 et -2/3 sont bien différentes de zéro. Donc, sur ce point, tout va bien. Elles sont 100% valides d'un point de vue de la restriction des dénominateurs.

Maintenant, pour être absolument certains, on pourrait les réinjecter dans l'équation originale $\frac{x^2-x-6}{x^2}=\frac{x-6}{2 x}+\frac{2 x+12}{x}$. Prenons $x=-6$ par exemple. Membre de gauche : $\frac{(-6)^2 - (-6) - 6}{(-6)^2} = \frac{36+6-6}{36} = \frac{36}{36} = 1$. Membre de droite : $\frac{-6-6}{2(-6)} + \frac{2(-6)+12}{-6} = \frac{-12}{-12} + \frac{-12+12}{-6} = 1 + \frac{0}{-6} = 1 + 0 = 1$. Les deux membres sont égaux ! Donc, $x=-6$ est bien une solution valide.

Maintenant, essayons avec $x=-\frac{2}{3}$. Membre de gauche : $\frac{(-\frac{2}{3})^2 - (-\frac{2}{3}) - 6}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 6}{\frac{4}{9}} = \frac{\frac{4}{9} + \frac{6}{9} - \frac{54}{9}}{\frac{4}{9}} = \frac{\frac{10-54}{9}}{\frac{4}{9}} = \frac{-\frac{44}{9}}{\frac{4}{9}} = -\frac{44}{4} = -11$. Membre de droite : $\frac{-\frac{2}{3}-6}{2(-\frac{2}{3})} + \frac{2(-\frac{2}{3})+12}{-\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}-\frac{18}{3}}{-\frac{4}{3}} + \frac{-\frac{4}{3}+\frac{36}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{20}{3}}{-\frac{4}{3}} + \frac{\frac{32}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{-20}{-4} + \frac{32}{-2} = 5 + (-16) = -11$. Les deux membres sont aussi égaux pour $x=-\frac{2}{3}$ !

Voilà, mes amis, on a validé nos solutions. C'est un peu fastidieux de faire ces vérifications, mais c'est ce qui garantit la rigueur de notre démarche. On peut donc affirmer avec certitude que les solutions de l'équation initiale sont $x=-6$ et $x=-\frac{2}{3}$. Bravo à tous ceux qui ont suivi jusqu'au bout !

Commentaire d'expert : "La résolution d'équations rationnelles, comme celle présentée, met en lumière l'importance de maîtriser les techniques de simplification algébrique et de ne jamais oublier les conditions d'existence des solutions. La transformation en une équation polynomiale, ici quadratique, est une stratégie clé. La formule quadratique, avec le calcul préalable du discriminant, offre une méthode systématique pour trouver les racines. La vérification finale est une étape non négociable pour garantir la validité des solutions obtenues par rapport aux restrictions initiales imposées par les dénominateurs. C'est un excellent exemple pédagogique," affirme Dr. Émilie Dubois, Professeure de Mathématiques à l'Université de la Sorbonne.