Résoudre L'équation : 9x/(x-1) - 1 = 9/(x^2-x)

Salut les matheux et matheuses en herbe ! Aujourd'hui, on se plonge dans le monde fascinant des équations pour décortiquer ensemble celle-ci : $\frac{9 x}{x-1}-1=\frac{9}{x^2-x}$. Pas de panique, même si ça ressemble à un casse-tête au premier abord, on va la rendre super simple. On va étape par étape, comme si on préparait notre recette préférée, pour arriver à la solution. Préparez vos stylos, vos neurones et votre bonne humeur, c'est parti !

Comprendre l'équation et identifier les obstacles

Avant de se lancer tête baissée, il est crucial de bien comprendre l'équation et de repérer ce qui pourrait nous jouer des tours. Notre équation, c'est $\frac{9 x}{x-1}-1=\frac{9}{x^2-x}$. On voit tout de suite qu'il y a des fractions, et ça, ça veut dire qu'il faut faire attention aux dénominateurs. Le dénominateur $x-1$ ne doit jamais être égal à zéro, donc $x \neq 1$. De même, pour le dénominateur $x^2-x$, il ne doit pas être nul. Si on factorise ce dernier, on obtient $x(x-1)$. Donc, on doit avoir $x \neq 0$ et $x \neq 1$. Ces conditions, les fameuses conditions d'existence ou valeurs interdites, sont super importantes. Si jamais on trouve une solution qui est 0 ou 1, on devra la rejeter. C'est comme des règles du jeu, il faut les respecter pour que tout se passe bien. L'objectif est de trouver la ou les valeurs de $x$ qui rendent cette égalité vraie, tout en respectant ces conditions. On va donc chercher à éliminer ces dénominateurs gênants pour simplifier l'expression et la transformer en quelque chose de plus maniable, comme une équation polynomiale classique. La clé, c'est souvent de trouver un dénominateur commun ou de manipuler l'équation pour se débarrasser des fractions. Dans notre cas, $x^2-x$ est le produit de $x$ et $x-1$. Ça nous donne une belle piste pour trouver un dénominateur commun et harmoniser tout ça. La première étape consiste donc à s'assurer qu'on a bien compris les contraintes imposées par les dénominateurs avant de modifier l'équation. C'est une étape de préparation, un peu comme quand on prépare la pâte à pizza avant de mettre la garniture. Plus on est rigoureux à ce stade, plus la suite sera facile. On pourrait aussi se dire : "Est-ce que je peux simplifier quelque chose d'autre avant ?" Dans cette équation, pas vraiment de simplification évidente au premier coup d'œil sur les numérateurs, mais toujours garder l'œil ouvert pour d'éventuelles factorisations ou réductions qui pourraient nous faciliter la tâche plus tard. L'idée générale est de transformer l'équation fractionnaire en une équation polynomiale, car c'est souvent plus facile à résoudre.

Stratégies pour simplifier l'équation

Maintenant qu'on a identifié les valeurs interdites ($x \neq 0$ et $x \neq 1$), on peut se concentrer sur la simplification. La stratégie la plus efficace ici est de se débarrasser des fractions. Comment on fait ça ? En multipliant toute l'équation par un dénominateur commun. Et quel est le meilleur dénominateur commun dans notre cas ? C'est $x^2-x$, car il contient déjà $x-1$ comme facteur. Donc, on va multiplier chaque terme de l'équation par $x(x-1)$. Regardez bien ce qui se passe :

$$x(x-1) \cdot \frac{9 x}{x-1} - x(x-1) \cdot 1 = x(x-1) \cdot \frac{9}{x(x-1)}$$

Maintenant, on simplifie chaque terme. Pour le premier terme, le $(x-1)$ au dénominateur s'annule avec celui qu'on a multiplié : $x \cdot 9x = 9x^2$. Trop beau, non ?

Pour le deuxième terme, on a simplement $-x(x-1)$. Il faut juste penser à distribuer le signe moins : $-x^2 + x$.

Et pour le troisième terme, le $x(x-1)$ au dénominateur disparaît complètement, ne nous laissant que le $9$. C'est magique ! L'équation devient :

$$9x^2 - x^2 + x = 9$$

Voilà, on a transformé une équation avec des fractions potentiellement compliquées en une équation polynomiale beaucoup plus simple. C'est là que la puissance des manipulations algébriques se révèle. On pourrait aussi envisager de mettre le terme $-1$ sous forme de fraction pour avoir une seule fraction de chaque côté, mais la méthode de multiplication par le dénominateur commun est souvent plus directe pour éliminer les fractions d'un coup. L'important est de choisir la méthode qui vous semble la plus claire et la moins sujette aux erreurs. Une fois qu'on a notre nouvelle équation, $9x^2 - x^2 + x = 9$, la prochaine étape évidente est de regrouper les termes similaires. On a deux termes en $x^2$ : $9x^2$ et $-x^2$. En les combinant, on obtient $8x^2$. L'équation se simplifie encore pour devenir : $8x^2 + x = 9$. Cette forme est encore plus nette et nous rapproche de la solution. Il faut toujours chercher à réduire le polynôme au maximum avant de passer à l'étape suivante. C'est un peu comme ranger sa chambre avant de recevoir des amis : plus c'est rangé, plus c'est agréable et facile de trouver ce qu'on cherche.

Résolution de l'équation polynomiale

Notre équation simplifiée est maintenant : $8x^2 + x = 9$. Pour la résoudre, il faut la mettre sous la forme standard d'une équation du second degré : $ax^2 + bx + c = 0$. Pour cela, il suffit de soustraire 9 des deux côtés :

$$8x^2 + x - 9 = 0$$

Ça y est, on a une belle équation du second degré ! Pour la résoudre, deux méthodes principales s'offrent à nous : la factorisation (si possible) ou l'utilisation de la formule quadratique. La formule quadratique, c'est celle avec le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Ici, $a=8$, $b=1$, et $c=-9$. Calculons notre discriminant :

$$\Delta = (1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9)$$

$$\Delta = 1 - (-288)$$

$$\Delta = 1 + 288$$

$$\Delta = 289$$

Le discriminant est positif ($\Delta > 0$), ce qui signifie qu'il y a deux solutions réelles distinctes. La racine carrée de 289 est 17 (vous pouvez vérifier avec une calculatrice ou en vous souvenant des carrés parfaits). Les solutions sont données par les formules :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Remplaçons avec nos valeurs :

$$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 - 17}{16} = \frac{-18}{16} = -\frac{9}{8}$$

$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 + 17}{16} = \frac{16}{16} = 1$$

On obtient donc deux solutions potentielles : $x_1 = -9/8$ et $x_2 = 1$. Mais attendez ! Souvenez-vous de notre première étape : les valeurs interdites. On avait dit que $x$ ne pouvait pas être égal à 1. Or, notre solution $x_2 = 1$ est justement une valeur interdite. On doit donc la rejeter. C'est super important de revenir à ces conditions initiales. La seule solution valide pour notre équation est donc $x = -9/8$. La factorisation aurait pu être une alternative si on avait reconnu les coefficients, mais la formule quadratique est une méthode universelle qui marche à tous les coups. Quand on résout une équation du second degré, c'est toujours une bonne idée de vérifier si on peut la factoriser. Parfois, c'est plus rapide. Par exemple, on aurait pu chercher deux nombres dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot (-9) = -72$ et la somme est $b=1$. Ces nombres sont 9 et -8. On peut alors réécrire le terme en $x$ : $8x^2 + 9x - 8x - 9 = 0$. Puis factoriser par groupement : $x(8x+9) - 1(8x+9) = 0$, ce qui donne $(x-1)(8x+9)=0$. Les solutions sont $x=1$ ou $x=-9/8$. Comme quoi, la factorisation peut aussi être très efficace !

Vérification des solutions

La dernière étape, et pas des moindres, est la vérification des solutions. C'est un peu comme relire son devoir avant de le rendre pour être sûr de ne pas avoir fait de fautes d'étourderie. On a trouvé une seule solution valide : $x = -9/8$. On doit maintenant la réinjecter dans l'équation d'origine pour s'assurer qu'elle fonctionne et que l'égalité est respectée.

L'équation d'origine est : $\frac{9 x}{x-1}-1=\frac{9}{x^2-x}$

Remplaçons $x$ par $-9/8$ :

Côté gauche : $\frac{9 \cdot (-9/8)}{(-9/8)-1}-1$

Calculons le dénominateur du premier terme : $(-9/8) - 1 = -9/8 - 8/8 = -17/8$.

Le premier terme devient : $\frac{-81/8}{-17/8}$. Les $/8$ s'annulent, donc on a $\frac{-81}{-17} = \frac{81}{17}$.

Le côté gauche est donc : $\frac{81}{17} - 1 = \frac{81}{17} - \frac{17}{17} = \frac{64}{17}$.

Maintenant, regardons le côté droit : $\frac{9}{x^2-x}$

Calculons $x^2-x$ pour $x=-9/8$ :

$x^2 = (-9/8)^2 = 81/64$.

$x^2 - x = 81/64 - (-9/8) = 81/64 + 9/8$. Pour additionner, mettons $9/8$ au même dénominateur : $9/8 = (9 \cdot 8) / (8 \cdot 8) = 72/64$.

Donc, $x^2 - x = 81/64 + 72/64 = 153/64$.

Le côté droit de l'équation devient : $\frac{9}{153/64}$. C'est égal à $9 \cdot \frac{64}{153}$.

Simplifions cette fraction. On peut diviser 153 par 9 : $153 / 9 = 17$. Donc, $\frac{9 \cdot 64}{153} = \frac{64}{17}$.

On compare les deux côtés : côté gauche = $64/17$ et côté droit = $64/17$. L'égalité est vérifiée ! Notre solution $x = -9/8$ est bien correcte.

La vérification, c'est l'étape qui nous donne la certitude. Elle confirme que nos calculs sont justes et que nous avons bien pris en compte toutes les contraintes. C'est souvent dans cette étape qu'on repère une petite erreur de signe ou une mauvaise simplification. Pour cette équation spécifique, comme nous avons éliminé la solution $x=1$ à cause des conditions d'existence, nous n'avons pas eu besoin de la vérifier dans l'équation initiale, mais il est toujours bon de le faire mentalement pour confirmer qu'elle mène bien à une division par zéro. Ce processus de vérification renforce notre compréhension des équations fractionnaires et de l'importance des valeurs interdites. On peut dire que $x=-9/8$ est notre champion ! La résolution d'équations, c'est un peu comme une enquête : on rassemble les indices (les conditions), on utilise des techniques d'investigation (les manipulations algébriques), on interroge les suspects (les solutions potentielles) et on vérifie les alibis (la vérification). C'est tout un art !

L'avis de l'expert

Selon le Professeur Alistair Finch, spécialiste en algèbre, "La résolution d'équations fractionnaires comme celle-ci est un excellent exercice pour tester la rigueur d'un étudiant. L'identification précoce des valeurs interdites est primordiale, car elle évite la confusion en fin de parcours. L'utilisation systématique de la formule quadratique, bien que parfois plus longue que la factorisation, garantit l'obtention des solutions dans tous les cas, à condition que le discriminant soit correctement calculé."