Résoudre $\frac{3}{4} A > -16$ : La Solution Expliquée

Salut les matheux et matheuses ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des inéquations, et plus précisément, on va décortiquer ensemble cette petite énigme : "Quelle est la solution à $\frac{3}{4} a > -16$ ?". C'est le genre de truc qui peut sembler un peu intimidant au début, surtout avec cette fraction et ce nombre négatif, mais croyez-moi, une fois qu'on a les bonnes astuces, c'est un jeu d'enfant ! On va explorer les différentes options (A, B, C, D) et surtout, comprendre comment on arrive à la bonne réponse. Préparez votre café, votre calepin, et c'est parti pour une session maths qui va vous rendre plus malin !

Comprendre le cœur de l'inéquation : $\frac{3}{4} a > -16$

Alors les amis, quand on regarde notre inéquation, $\frac{3}{4} a > -16$, le premier truc à piger, c'est ce que ça signifie. En gros, on cherche toutes les valeurs de "a" qui, une fois multipliées par $\frac{3}{4}$ (ce qui revient à prendre les trois quarts de "a"), donnent un résultat strictement plus grand que -16. Le symbole ">" est super important ici, il nous dit qu'on ne prend pas en compte la valeur où les deux côtés sont égaux. Imaginez une balance : le côté avec $\frac{3}{4} a$ doit être plus lourd que le plateau qui affiche -16. Notre mission, si on l'accepte, c'est de trouver le point de basculement, et surtout, de savoir dans quelle direction "a" doit se situer pour que cette balance penche du bon côté.

Pour résoudre ça, le but est toujours le même : isoler la variable, ici notre "a". On veut se retrouver avec un truc du genre "a > quelque chose" ou "a < quelque chose". Pour y arriver, on va devoir se débarrasser du $\frac{3}{4}$ qui traîne à côté de "a". Dans le monde des équations et inéquations, on fait ça en appliquant l'opération inverse. Le $\frac{3}{4}$ est en train de multiplier "a". L'opération inverse de la multiplication, c'est la division. Donc, mathématiquement, il faudrait diviser les deux côtés de l'inéquation par $\frac{3}{4}$.

Mais attention, il y a une petite subtilité quand on divise (ou multiplie) une inéquation par un nombre négatif. Dans notre cas, $\frac{3}{4}$ est positif, donc pas de panique, le sens de l'inégalité reste le même. Si on avait eu, par exemple, $-\frac{3}{4} a > -16$, là, il faudrait absolument inverser le signe ">" en "<". C'est une règle d'or des inéquations qu'il ne faut jamais oublier, ça peut vous sauver la vie (ou au moins votre note en maths) !

Pour diviser par une fraction, c'est encore plus simple : on multiplie par son inverse. L'inverse de $\frac{3}{4}$ est $\frac{4}{3}$. Donc, on va multiplier les deux côtés de notre inéquation par $\frac{4}{3}$. Voyons comment ça se passe concrètement :

$\frac{3}{4} a \times \frac{4}{3} > -16 \times \frac{4}{3}$

Sur le côté gauche, $\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}$ ça fait 1 (un nombre multiplié par son inverse donne toujours 1), donc on se retrouve avec juste "a".

Sur le côté droit, on a $-16 \times \frac{4}{3}$. Faire $-16 \times \frac{4}{3}$, c'est comme faire $\frac{-16}{1} \times \frac{4}{3}$. On multiplie les numérateurs entre eux (-16 * 4 = -64) et les dénominateurs entre eux (1 * 3 = 3). Ça nous donne $\frac{-64}{3}$.

Donc, notre inéquation devient : $a > \frac{-64}{3}$.

Voilà, on a réussi à isoler "a" ! Maintenant, il faut juste comparer ce résultat avec les options proposées. Le nombre $\frac{-64}{3}$ est une fraction qui n'est pas très pratique à comparer visuellement. Il est souvent plus facile de la transformer en nombre décimal ou en nombre mixte. Pour transformer $\frac{-64}{3}$ en nombre mixte, on fait la division entière de 64 par 3.

64 divisé par 3, ça fait 21 avec un reste de 1. Donc, $\frac{64}{3}$ est égal à $21 \frac{1}{3}$. Comme on avait $\frac{-64}{3}$, notre nombre est en fait $-21 \frac{1}{3}$.

Notre inéquation finale est donc : $a > -21 \frac{1}{3}$.

Cette étape de transformation en nombre mixte ou décimal est cruciale pour pouvoir comparer notre résultat avec les options données. On voit bien que le signe de l'inégalité est resté " $>$ " car on a multiplié par un nombre positif ($\frac{4}{3}$). Si on avait fait l'étape initiale en divisant par $\frac{3}{4}$ (qui est positif), le signe aurait aussi été préservé. Les calculs sont donc corrects et mènent à notre solution finale.

Décryptage des Options : Quelle est la bonne réponse ?

Maintenant que les maths sont faites et que notre super résultat est $a > -21 \frac{1}{3}$, regardons les options pour voir laquelle colle parfaitement. Les options sont :

A. $a>-21 \frac{1}{3}$ B. $a<-21 \frac{1}{3}$ C. $a>21 \frac{1}{3}$ D. $a<21 \frac{1}{3}$

Notre résultat, $a > -21 \frac{1}{3}$, correspond exactement à l'option A.

Pourquoi les autres sont fausses ? C'est simple :

• L'option B ($a<-21 \frac{1}{3}$) propose un signe d'inégalité inversé. On a vu que comme on a manipulé l'inéquation avec des opérations impliquant des nombres positifs, le signe devait rester le même. De plus, si $a$ était plus petit que $-21 \frac{1}{3}$, alors $\frac{3}{4} a$ serait plus petit que $-21 \frac{1}{3}$, ce qui est l'inverse de ce qu'on cherche.
• L'option C ($a>21 \frac{1}{3}$) et l'option D ($a<21 \frac{1}{3}$) se trompent sur le signe du nombre (-21 vs 21). Le calcul $-16 \times \frac{4}{3}$ donne un résultat négatif, $\frac{-64}{3}$ ou $-21 \frac{1}{3}$. Un nombre multiplié par une fraction positive ne peut pas devenir magiquement plus grand que le nombre lui-même si le nombre de départ est négatif, sauf cas très spécifiques. Ici, avec $\frac{3}{4}$, on réduit la valeur absolue, donc un nombre négatif devient un nombre négatif