Résoudre 5/(6x) = X/6 + 2x/3 : La Solution

Salut les matheux et matheuses ! Aujourd'hui, on va se plonger dans une équation qui peut sembler un peu intimidante au premier abord, mais vous allez voir, avec quelques astuces, elle devient un jeu d'enfant. On parle de $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$. Notre mission, si vous l'acceptez, est de trouver la valeur ou les valeurs de x qui rendent cette égalité vraie. Alors, installez-vous confortablement, prenez un café (ou un thé, on ne juge pas !), et c'est parti pour l'aventure mathématique !

Comprendre l'Équation : Décortiquons le Beast !

Avant de se jeter tête baissée dans la résolution, faisons connaissance avec notre équation : $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$. On voit tout de suite qu'on a affaire à des fractions, et pire, une variable x au dénominateur. Ça, ça nous met une petite alerte : il faut absolument que le dénominateur ne soit pas nul. Donc, dès le départ, on sait que $x \neq 0$. C'est une contrainte super importante qu'on gardera en tête tout au long du processus. Si jamais on trouve 0 comme solution à la fin, on devra la rejeter. Les autres termes, $\frac{x}{6}$ et $\frac{2 x}{3}$, sont plus classiques, mais il va falloir les mettre d'accord avec la première fraction. Le but du jeu, c'est de simplifier tout ça pour isoler notre fameux x. On va utiliser notre arsenal de tricks mathématiques : trouver un dénominateur commun, multiplier par des expressions pour éliminer les fractions, et bien sûr, faire preuve de patience et de rigueur. N'oubliez jamais, les gars, que chaque étape compte. Une petite erreur de signe, une fraction mal calculée, et paf ! On se retrouve avec une solution fantôme. Alors, on respire un grand coup, et on attaque !

La Stratégie : Le Chemin vers la Solution

Notre stratégie principale pour résoudre $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$ va être de transformer cette équation fractionnaire en une équation polynomiale plus simple, idéalement une équation du second degré, car on voit des termes en $x^2$ apparaître quand on va multiplier. Pour ce faire, le moyen le plus efficace est de se débarrasser des dénominateurs. Comment ? En trouvant le plus petit dénominateur commun (PPCM) de toutes les fractions présentes. Ici, nos dénominateurs sont $6x$, $6$, et $3$. Si on réfléchit bien, le PPCM de $6x$, $6$ et $3$ est tout simplement $6x$. Pourquoi ? Parce que $6x$ est un multiple de $6$ ( $6x = 6 \times x$ ) et $6x$ est aussi un multiple de $3$ ( $6x = 3 \times 2x$ ). Donc, notre PPCM magique est $6x$. Une fois qu'on a ce PPCM, on va multiplier chaque terme de l'équation par $6x$. Attention, il faut être méticuleux : on multiplie chaque membre de l'égalité. Cela va nous permettre d'annuler les dénominateurs et de nous retrouver avec une expression sans fractions. C'est un peu comme si on mettait tout le monde d'accord sur un langage commun pour pouvoir ensuite discuter plus facilement. Cette étape est cruciale et demande une concentration maximale. Chaque multiplication doit être faite correctement. Par exemple, quand on multiplie $\frac{5}{6x}$ par $6x$, le $6x$ s'annule et il reste $5$. Quand on multiplie $\frac{x}{6}$ par $6x$, le $6$ s'annule et il reste $x \times x$, ce qui donne $x^2$. Et pour $\frac{2 x}{3}$, on multiplie par $6x$, le $3$ se simplifie avec le $6$ (donnant $2$), et il reste $2x \times 2x$, soit $4x^2$. Vous voyez le topo ? Ce processus nous amène vers une forme bien plus gérable. Une fois cette étape franchie, on aura une équation de la forme $A = B + C$, où A, B, et C sont des expressions sans dénominateurs, et on pourra alors la réarranger pour obtenir une forme standard, prête à être résolue.

L'Étape Clé : Éliminer les Dénominateurs

Alors, comme on l'a dit, pour résoudre $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$, notre première mission est de faire disparaître ces dénominateurs gênants. Rappelez-vous, le dénominateur commun est $6x$. On va donc multiplier chaque terme de l'équation par $6x$. Allons-y, étape par étape, pour ne rien rater. Premier terme à gauche : $\frac{5}{6x}$. On le multiplie par $6x$. Ça donne : $(6x) \times \frac{5}{6x}$. Ici, le $6x$ du numérateur et le $6x$ du dénominateur s'annulent mutuellement. On obtient donc simplement $5$. C'est notre membre de gauche, simplifié.

Maintenant, passons au membre de droite. On a deux termes à multiplier par $6x$. Commençons par $\frac{x}{6}$. La multiplication donne : $(6x) \times \frac{x}{6}$. Le $6$ du dénominateur se simplifie avec le $6$ du facteur $6x$. Il nous reste donc $x \times x$. Et $x \times x$, ça fait $x^2$. Facile, non ?

Continuons avec le dernier terme : $\frac{2 x}{3}$. On le multiplie par $6x$. Ça devient : $(6x) \times \frac{2 x}{3}$. Ici, on peut simplifier le $3$ du dénominateur avec le $6$ du facteur $6x$. Le $6$ divisé par $3$ donne $2$. Donc, il nous reste $2x \times (2x)$. Et $2x \times 2x$, ça fait $4x^2$. Bravo !

Maintenant, on rassemble tout ça. L'équation originale $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$ s'est transformée en : $5 = x^2 + 4x^2$. Voilà une équation bien plus sympathique, sans aucune fraction ! On voit que notre travail de simplification a payé. Cette étape est fondamentale. Si vous avez le moindre doute, repassez par là. C'est la clé pour débloquer la suite. Monsieur Dubois, un ancien professeur de mathématiques réputé pour sa rigueur, dirait toujours à ses élèves : "La maîtrise des fractions est la fondation de toute résolution d'équations complexes. Ne négligez jamais cette étape !" Il avait tellement raison !

La Transformation en Équation Quadratique

On a donc notre belle équation sans fractions : $5 = x^2 + 4x^2$. L'étape suivante, les amis, est de regrouper les termes semblables. Ici, $x^2$ et $4x^2$ sont des termes semblables car ils ont la même variable élevée à la même puissance. Donc, $x^2 + 4x^2$ est égal à $5x^2$. Notre équation devient alors : $5 = 5x^2$. Vous la sentez venir ? C'est une équation quadratique très simple. Pour la résoudre, on veut isoler $x^2$. On divise les deux côtés de l'égalité par $5$. Ça donne : $\frac{5}{5} = \frac{5x^2}{5}$. Ce qui simplifie en $1 = x^2$. On a maintenant $x^2 = 1$. C'est le moment où l'on doit se rappeler ce que signifie $x^2 = 1$. Cela veut dire qu'un nombre, multiplié par lui-même, donne $1$. Quels sont ces nombres ? Eh bien, il y en a deux ! Le premier, c'est $1$, car $1 \times 1 = 1$. Le second, c'est $-1$, car $(-1) \times (-1) = 1$. Donc, les solutions pour $x^2 = 1$ sont $x=1$ et $x=-1$. On les écrit souvent comme $x = \pm 1$. Ces deux valeurs sont nos candidates sérieuses pour être les solutions de notre équation d'origine. On a transformé une équation avec fractions en une équation quadratique simple, et on en a trouvé les deux racines potentielles. C'est une progression énorme !

La Vérification : La Dernière Ligne Droite

On a trouvé que les solutions possibles sont $x=1$ et $x=-1$. Mais attention, souvenez-vous de notre toute première contrainte : $x \neq 0$. Est-ce que nos solutions respectent cette règle ? Oui, $1 \neq 0$ et $-1 \neq 0$. Donc, on peut passer à la vérification finale. Il faut maintenant remplacer $x$ par $1$ dans l'équation originale et voir si l'égalité est vraie, puis faire de même avec $-1$. C'est l'étape de la validation. C'est un peu comme si on faisait passer un examen final à nos solutions. Si elles réussissent, elles sont valides. Sinon, on les renvoie à la case départ (ou on les élimine).

Vérification pour $x=1$ : On remplace $x$ par $1$ dans $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$. Membre de gauche : $\frac{5}{6 \times 1} = \frac{5}{6}$. Membre de droite : $\frac{1}{6} + \frac{2 \times 1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3}$. Pour additionner ces fractions, on met au même dénominateur, qui est $6$. $\frac{2}{3}$ devient $\frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$. Donc, le membre de droite est $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1+4}{6} = \frac{5}{6}$. On compare : $\frac{5}{6} = \frac{5}{6}$. L'égalité est vraie ! Donc, $x=1$ est une solution valide.

Vérification pour $x=-1$ : On remplace $x$ par $-1$ dans $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$. Membre de gauche : $\frac{5}{6 \times (-1)} = \frac{5}{-6} = -\frac{5}{6}$. Membre de droite : $\frac{-1}{6} + \frac{2 \times (-1)}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{-2}{3}$. On met au même dénominateur $6$. $\frac{-2}{3}$ devient $\frac{-2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{-4}{6}$. Donc, le membre de droite est $- \frac{1}{6} + \frac{-4}{6} = \frac{-1 + (-4)}{6} = \frac{-5}{6}$. On compare : $- \frac{5}{6} = - \frac{5}{6}$. L'égalité est vraie ! Donc, $x=-1$ est aussi une solution valide.

Après avoir fait ces vérifications méticuleuses, on peut affirmer avec certitude que les solutions de l'équation $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$ sont $x=1$ et $x=-1$. C'est une excellente nouvelle ! On a non seulement résolu l'équation, mais on a aussi validé nos résultats. C'est la preuve qu'en étant patient et en suivant les étapes méthodiquement, on peut venir à bout de n'importe quelle équation, même celles qui ont des airs de monstres mathématiques au départ. Félicitations à vous qui avez suivi ce parcours jusqu'au bout !

Conclusion Rapide sur Nos Solutions

Pour résumer, notre exploration de l'équation $\frac{5}{6x}=\frac{x}{6}+\frac{2 x}{3}$ nous a menés droit vers deux solutions élégantes : $x=1$ et $x=-1$. Ces valeurs rendent l'égalité parfaitement juste, comme on l'a vérifié avec soin. Cette démarche nous rappelle l'importance de ne jamais oublier les contraintes initiales (ici, $x \neq 0$) et de toujours valider nos résultats. C'est ainsi qu'on construit une compréhension solide des mathématiques, étape par étape. Gardez cette méthode en tête, elle vous sera utile pour bien d'autres problèmes !