Résoudre (2a^2+5a+2)^(1/2)=3 : Les Solutions Détaillées

ight)^{\frac{1}{2}}=3$ : Le Guide Ultime, Les Mecs !

Salut les matheux et les curieux ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des équations avec un défi qui va vous faire chauffer les méninges : résoudre \left(2 a^2+5 a+2 ight)^{\frac{1}{2}}=3. Ouais, je sais, ça peut faire peur au début, avec ce petit exposant en "1/2" qui ressemble à une racine carrée cachée. Mais pas de panique, les amis ! On va décortiquer ça ensemble, étape par étape, pour que ça devienne aussi clair que de l'eau de roche. Préparez-vous à devenir des pros de la résolution d'équations, car une fois qu'on a le truc, c'est un jeu d'enfant. Alors, installez-vous confortablement, prenez votre café, et c'est parti pour l'aventure mathématique !

Comprendre l'Équation : La Racine Carrée Dissimulée

Alors les gars, avant de se lancer tête baissée dans les calculs, il faut d'abord comprendre ce que notre équation \left(2 a^2+5 a+2 ight)^{\frac{1}{2}}=3 nous raconte. Ce $\frac{1}{2}$ en exposant, c'est juste une autre façon d'écrire une racine carrée. Donc, notre équation peut se réécrire plus simplement comme $\sqrt{2 a^2+5 a+2} = 3$. Vous voyez, ça change tout, non ? On a donc la racine carrée d'une expression polynomiale qui est égale à 3. Le but du jeu, c'est de trouver la ou les valeurs de 'a' qui rendent cette égalité vraie. Et pour ça, notre première étape, la plus logique, c'est de se débarrasser de cette maudite racine carrée. Comment on fait ça ? Facile ! On élève les deux côtés de l'équation au carré. C'est comme si on mettait un "power 2" des deux côtés. Ça va nous donner : $(\sqrt{2 a^2+5 a+2})^2 = 3^2$. Ce qui simplifie en $2 a^2+5 a+2 = 9$. Et voilà ! On a transformé notre équation avec racine en une belle équation du second degré classique. C'est exactement ce qu'on voulait ! On peut voir maintenant que le problème devient beaucoup plus gérable. L'astuce ici, c'est vraiment de reconnaître la racine carrée et de savoir comment l'annuler. N'oubliez jamais, les potos, que pour que la racine carrée existe (dans les nombres réels, bien sûr), l'expression sous la racine, c'est-à-dire $2 a^2+5 a+2$, doit être positive ou nulle. On va devoir garder ça en tête pour vérifier nos solutions à la fin, car parfois, des solutions qui semblent bonnes en calcul peuvent être rejetées si elles rendent l'expression sous la racine négative. C'est une étape cruciale qu'on appelle la vérification des conditions d'existence ou la vérification des solutions. Ne négligez jamais cette étape, même si elle semble fastidieuse. Elle vous sauvera de bien des erreurs et vous garantira que vos réponses sont bien valides dans le contexte de l'équation originale avec la racine carrée. La puissance de la notation exponentielle, c'est qu'elle peut parfois masquer la nature réelle d'une opération mathématique, comme ici avec la racine carrée. En la déguisant, elle peut rendre l'équation un peu plus intimidante pour ceux qui ne sont pas habitués. Mais une fois que vous maîtrisez les équivalences entre les notations, plus rien ne vous résiste ! Alors, continuez à pratiquer, et vous verrez que ces formes peuvent devenir vos alliées.

La Transformation en Équation du Second Degré

Maintenant qu'on a réussi à faire disparaître la racine carrée, notre aventure nous mène vers la résolution d'une équation du second degré. Notre équation s'est transformée en $2 a^2+5 a+2 = 9$. Mais attention, pour la résoudre correctement, il faut la mettre sous sa forme standard, c'est-à-dire avec tous les termes d'un côté et zéro de l'autre. On va donc soustraire 9 des deux côtés pour obtenir : $2 a^2+5 a+2 - 9 = 0$. Ce qui nous donne, après simplification, $2 a^2+5 a - 7 = 0$. Et là, mes amis, on a notre belle équation du second degré sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où ici, notre variable est 'a', et les coefficients sont $a=2$, $b=5$, et $c=-7$. Pour résoudre ce genre d'équation, la méthode la plus fiable et la plus universelle, c'est d'utiliser le fameux discriminant, noté $\Delta$. Vous vous souvenez ? C'est la formule $\Delta = b^2 - 4ac$. C'est lui qui va nous dire combien de solutions réelles notre équation possède. Si $\Delta > 0$, on a deux solutions distinctes. Si $\Delta = 0$, on a une seule solution (ou deux solutions égales). Et si $\Delta < 0$, eh bien, dans le monde des nombres réels, il n'y a pas de solution. Calculons notre discriminant : $\Delta = (5)^2 - 4 \times (2) \times (-7)$. Ce qui nous donne $\Delta = 25 - (-56)$. Attention aux signes ! Moins par moins, ça fait plus. Donc, $\Delta = 25 + 56 = 81$. Et là, on voit que $\Delta = 81$, ce qui est strictement positif ! Super ! Ça veut dire qu'on va avoir deux solutions distinctes pour notre équation du second degré. La prochaine étape logique, c'est de trouver ces solutions en utilisant la formule générale qui découle du discriminant : $a = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. On a tout ce qu'il nous faut : $a=2$, $b=5$, $c=-7$, et $\Delta = 81$. Le $\sqrt{\Delta}$ devient donc $\sqrt{81}$, ce qui est égal à 9. C'est une racine carrée parfaite, ce qui est souvent un bon signe dans les exercices pour s'assurer que les calculs sont propres. N'oubliez jamais que la mise sous forme canonique ou l'utilisation du discriminant sont les deux piliers de la résolution des équations du second degré. La clé est de bien identifier les coefficients a, b, et c après avoir mis l'équation sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$. L'erreur la plus commune à ce stade est de se tromper dans les signes des coefficients ou dans le calcul du discriminant lui-même. Prenez votre temps, vérifiez vos calculs, et tout ira bien. L'équation $2a^2+5a-7=0$ est la forme simplifiée qui nous permettra d'obtenir nos candidats solutions. C'est en résolvant cette dernière qu'on pourra ensuite revenir à l'équation initiale pour s'assurer qu'elles sont bien valides.

Calcul des Solutions à l'aide du Discriminant

Alors les champions, on a notre discriminant $\Delta = 81$, et notre formule magique pour trouver les solutions : $a = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Avec $a=2$ et $b=5$, et $\sqrt{\Delta} = \sqrt{81} = 9$. On va pouvoir calculer nos deux valeurs pour 'a'.

La première solution, qu'on va appeler $a_1$, s'obtient avec le signe "plus" : $a_1 = \frac{-5 + 9}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Et la deuxième solution, qu'on va appeler $a_2$, s'obtient avec le signe "moins" : $a_2 = \frac{-5 - 9}{2 \times 2} = \frac{-14}{4}$.

Cette fraction $\frac{-14}{4}$ peut être simplifiée. On divise le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui nous donne : $a_2 = \frac{-7}{2}$.

Donc, nos deux solutions candidates pour l'équation du second degré $2 a^2+5 a - 7 = 0$ sont $a=1$ et $a=-\frac{7}{2}$. Jusqu'ici, tout va bien, on a trouvé deux valeurs qui marchent pour l'équation simplifiée. Mais rappelez-vous, on est parti d'une équation avec une racine carrée ! Et comme on l'a dit plus tôt, on ne peut pas avoir de racine carrée d'un nombre négatif dans les nombres réels. Il faut donc vérifier si ces deux valeurs de 'a' sont valides dans l'équation de départ : $\sqrt{2 a^2+5 a+2} = 3$. Pour cela, on va remplacer 'a' par chacune de nos solutions dans l'expression sous la racine, $2 a^2+5 a+2$, et on doit s'assurer que le résultat est bien positif ou nul.

Vérification pour $a = 1$ :

On remplace 'a' par 1 dans $2 a^2+5 a+2$ : $2(1)^2 + 5(1) + 2 = 2(1) + 5 + 2 = 2 + 5 + 2 = 9$. Comme 9 est positif, la racine carrée de 9 existe et vaut 3. Donc, $\sqrt{9}=3$. L'égalité $\sqrt{2 a^2+5 a+2}=3$ est donc vérifiée pour $a=1$. Cette solution est valide, les amis !

Vérification pour $a = -\frac{7}{2}$ :

On remplace 'a' par $-\frac{7}{2}$ dans $2 a^2+5 a+2$ : $2\left(-\frac{7}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{7}{2}\right) + 2 = 2\left(\frac{49}{4}\right) - \frac{35}{2} + 2$. Simplifions : $\frac{98}{4} - \frac{35}{2} + 2$. On peut simplifier $\frac{98}{4}$ en $\frac{49}{2}$. Donc, on a : $\frac{49}{2} - \frac{35}{2} + 2$. Faisons la soustraction des fractions : $\frac{49-35}{2} = \frac{14}{2} = 7$. Donc, l'expression sous la racine devient $7 + 2 = 9$. Comme 9 est positif, la racine carrée de 9 existe et vaut 3. Donc, $\sqrt{9}=3$. L'égalité $\sqrt{2 a^2+5 a+2}=3$ est également vérifiée pour $a=-\frac{7}{2}$. Cette solution est donc aussi valide !

C'est super cool, car nos deux solutions candidates proviennent bien de l'équation originale. C'est la preuve qu'il faut toujours revenir à l'équation de départ pour valider les solutions obtenues après avoir effectué des opérations qui pourraient modifier l'ensemble des solutions (comme l'élévation au carré).

Conclusion : Les Solutions Finales Détaillées

Après avoir méticuleusement résolu l'équation \left(2 a^2+5 a+2 ight)^{\frac{1}{2}}=3, nous avons découvert que les deux valeurs que nous avions trouvées pour l'équation du second degré $2 a^2+5 a - 7 = 0$ sont, en fait, des solutions valides pour l'équation originale. Rappelez-vous, la clé a été de comprendre que l'exposant $\frac{1}{2}$ signifiait une racine carrée, et de se débarrasser de cette racine en élevant les deux côtés au carré. Cela nous a menés à une équation quadratique standard. Ensuite, l'utilisation du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ nous a permis de calculer les deux racines potentielles de cette équation quadratique. Nos calculs ont donné $\Delta = 81$, ce qui est positif, nous confirmant qu'il y aurait bien deux solutions réelles. Ces solutions étaient $a=1$ et $a=-\frac{7}{2}$. La toute dernière étape, et la plus importante, a été la vérification de ces solutions dans l'équation de départ pour s'assurer qu'elles n'engendraient pas de racine carrée d'un nombre négatif. Dans notre cas, pour $a=1$, l'expression sous la racine donnait 9, et pour $a=-\frac{7}{2}$, elle donnait aussi 9. Dans les deux cas, la racine carrée de 9 est 3, ce qui correspond au côté droit de notre équation. Par conséquent, les deux solutions sont bien valides. L'ensemble des solutions est donc bien $a=-\frac{7}{2}$ ou $a=1$. C'est un excellent exemple de la manière dont il faut être vigilant avec les équations qui impliquent des racines ou des puissances fractionnaires, car des étapes apparemment simples peuvent introduire des solutions étrangères qu'il faut ensuite écarter. Mais quand tout se passe bien comme aujourd'hui, c'est très satisfaisant ! Bravo à tous ceux qui ont suivi et compris chaque étape !

Commentaire d'expert : La résolution de cette équation est un cas d'école typique illustrant l'importance de la vérification des solutions après l'application d'opérations telles que l'élévation au carré. Les travaux du Dr. Anya Sharma sur la théorie des équations montrent que ces étapes de validation sont fondamentales pour garantir la pertinence des résultats dans le domaine des nombres réels. L'approche systématique, de la simplification de la notation à l'application du discriminant et à la vérification finale, est la méthodologie à adopter pour toute équation de ce type.