Résolution Inégalité : √(2x - X²) ≤ 5 - 2x

Salut les matheux et les matheuses ! Aujourd'hui, on plonge dans le vif du sujet avec une inégalité qui peut sembler un peu intimidante au premier abord : √(2x - x²) ≤ 5 - 2x. Pas de panique, les gars ! On va décortiquer ça ensemble, étape par étape, pour que vous puissiez maîtriser cette bête comme des pros. Et croyez-moi, une fois que vous aurez compris la logique, ça deviendra un jeu d'enfant. Préparez vos crayons, car on va faire chauffer les méninges !

Comprendre les Enjeux : Racine Carrée et Conditions d'Existence

Avant de se lancer tête baissée dans la résolution, il est crucial de saisir les contraintes de notre inégalité. Le cœur du problème réside dans la présence de la racine carrée, √(2x - x²). Pour qu'une racine carrée ait un sens dans l'ensemble des nombres réels, son argument, c'est-à-dire ce qui se trouve sous la racine, doit impérativement être positif ou nul. C'est la fameuse condition d'existence. Donc, la première chose à faire, c'est de s'assurer que 2x - x² ≥ 0. Pour résoudre cette sous-inégalité, on peut factoriser par x : x(2 - x) ≥ 0. Pour que ce produit soit positif ou nul, il faut que les deux facteurs aient le même signe, ou que l'un d'eux soit nul. En analysant les signes, on trouve que cette condition est satisfaite lorsque x est compris entre 0 et 2, inclus. Autrement dit, l'ensemble des solutions possibles pour notre inégalité principale se situe dans l'intervalle [0; 2]. C'est notre terrain de jeu, notre zone de validité. Tout résultat en dehors de cet intervalle sera automatiquement rejeté. C'est comme définir les limites d'un chantier avant de commencer à construire ; sans ces limites, tout deviendrait chaos. C'est un peu la même idée en maths, on pose d'abord les règles du jeu pour éviter les erreurs et les solutions fantômes. Penser à cette condition d'existence dès le début, c'est déjà faire la moitié du chemin vers la solution correcte. Ne négligez jamais cette étape, elle est fondamentale et vous évitera bien des maux de tête plus tard dans votre raisonnement. Le domaine de définition, ou l'ensemble de validité, est votre meilleur ami quand il s'agit d'inégalités impliquant des fonctions comme la racine carrée, le logarithme, ou des dénominateurs qui ne doivent pas être nuls. C'est le socle sur lequel repose toute la résolution.

L'Autre Côté : Analyse du Terme de Droite

Maintenant, jetons un œil au côté droit de notre inégalité : 5 - 2x. On a vu que la racine carrée, qui est toujours positive ou nulle par définition, doit être inférieure ou égale à cette expression. Cela implique donc que 5 - 2x doit aussi être positif ou nul. Pourquoi ? Parce qu'un nombre positif (la racine) ne peut pas être inférieur à un nombre négatif. Donc, on doit avoir 5 - 2x ≥ 0. En résolvant cette nouvelle petite inégalité, on obtient 5 ≥ 2x, ce qui se traduit par x ≤ 5/2, soit x ≤ 2.5. Cette condition vient s'ajouter à notre première contrainte. Notre solution devra donc satisfaire les deux conditions : être dans l'intervalle [0; 2] et être inférieure ou égale à 2.5. En combinant ces deux conditions, on voit que notre ensemble de validité réel se resserre. On doit donc avoir x ∈ [0; 2] ∩ (-∞; 2.5]. L'intersection de ces deux ensembles est tout simplement [0; 2]. C'est notre ensemble final de possibilités. On a réduit le champ des recherches, et ça, c'est une excellente nouvelle. C'est un peu comme si on cherchait une aiguille dans une botte de foin, et qu'on avait réussi à réduire la taille de la botte de foin. Moins de possibilités à vérifier, c'est plus de chances de trouver la bonne réponse rapidement et sans erreur. Cette analyse préliminaire est super importante, elle nous donne un cadre, un périmètre dans lequel notre solution doit évoluer. C'est la stratégie avant l'action, la planification avant l'exécution. Chaque étape de cette préparation nous rapproche de la solution et renforce notre compréhension du problème. On ne laisse rien au hasard, on contrôle chaque aspect pour s'assurer de la validité de notre démarche. C'est la rigueur mathématique à son meilleur, et c'est ce qui fait la beauté de la résolution de problèmes.

La Résolution : Élever au Carré pour Éliminer la Racine

Maintenant que nos conditions d'existence sont bien établies et que nous avons notre intervalle de validité [0; 2], on peut passer à l'action pour résoudre l'inégalité principale. L'outil le plus efficace pour se débarrasser de la racine carrée est d'élever les deux membres de l'inégalité au carré. Mais attention, les gars, on ne peut faire ça que si les deux membres sont positifs. On a déjà établi que la racine carrée est positive (ou nulle). Et on a aussi imposé que le membre de droite, 5 - 2x, soit positif ou nul pour que l'inégalité ait un sens. Comme nous travaillons dans l'intervalle [0; 2], on sait que 5 - 2x est toujours positif (car 2x sera au maximum 4, donc 5 - 2x sera au minimum 1). Donc, on peut y aller ! En élevant au carré, notre inégalité √(2x - x²) ≤ 5 - 2x devient (√(2x - x²))² ≤ (5 - 2x)². Ce qui se simplifie en 2x - x² ≤ 25 - 20x + 4x².

Le Passage à l'Inégalité Quadratique

Une fois que l'on a éliminé la racine carrée, on se retrouve avec une inégalité quadratique. Il faut tout ramener d'un côté pour obtenir une forme standard du type ax² + bx + c ≤ 0. En réarrangeant notre inégalité, on obtient : 0 ≤ 25 - 20x + 4x² - 2x + x². En regroupant les termes semblables, cela nous donne : 0 ≤ 5x² - 22x + 25. Ou, pour une lecture plus conventionnelle : 5x² - 22x + 25 ≥ 0. Voilà, on a une belle inégalité du second degré à résoudre. C'est une étape clé qui transforme un problème avec racine en un problème polynomial plus familier. La puissance de l'algèbre, hein ? C'est en manipulant les expressions qu'on arrive à simplifier et à résoudre des équations ou des inégalités qui paraissent complexes au départ. L'élévation au carré est une technique puissante, mais il faut toujours vérifier les conditions sous lesquelles elle est applicable pour ne pas introduire de solutions parasites. Dans notre cas, la vérification des signes des deux membres avant l'élévation au carré était essentielle pour garantir la validité de notre démarche. C'est une illustration parfaite de l'importance des prérequis en mathématiques. On ne saute pas d'étapes, on construit notre raisonnement brique par brique, en s'assurant de la solidité de chaque élément. Et maintenant, la prochaine étape, c'est de résoudre cette inégalité quadratique.

Résolution de l'Inégalité Quadratique : L'Heure de Vérité

On a maintenant l'inégalité 5x² - 22x + 25 ≥ 0. Pour savoir quand ce polynôme est positif ou nul, on va d'abord trouver ses racines, c'est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles 5x² - 22x + 25 = 0. On utilise pour cela le discriminant, delta (Δ). La formule est Δ = b² - 4ac, où a=5, b=-22, et c=25. Calculons : Δ = (-22)² - 4 * 5 * 25. Ça nous donne Δ = 484 - 500. Oh là là, le discriminant est négatif : Δ = -16. Que signifie un discriminant négatif ? Cela signifie que l'équation 5x² - 22x + 25 = 0 n'a aucune racine réelle. Le polynôme 5x² - 22x + 25 ne s'annule donc jamais sur l'ensemble des nombres réels.

Interprétation du Discriminant Négatif

Maintenant, il faut savoir si notre polynôme est toujours positif ou toujours négatif. Comme le coefficient du terme en x², qui est 'a' (ici, a=5), est positif, la parabole représentant notre polynôme s'ouvre vers le haut. Et comme elle n'a pas de racines réelles (elle ne touche pas l'axe des x), cela signifie que toute la parabole est située au-dessus de l'axe des x. Autrement dit, pour toutes les valeurs réelles de x, le polynôme 5x² - 22x + 25 est strictement positif. Donc, l'inégalité 5x² - 22x + 25 ≥ 0 est vraie pour tous les nombres réels x ∈ ℝ. C'est une découverte majeure ! Le polynôme est toujours positif, quelle que soit la valeur de x. C'est le signe que notre solution pourrait bien être très large, voire tout ℝ.

Synthèse et Intersection : Trouver la Solution Finale

On a fait un sacré chemin, les amis ! On a déterminé que pour que l'inégalité √(2x - x²) ≤ 5 - 2x ait un sens, notre solution x devait appartenir à l'intervalle [0; 2]. Ensuite, en résolvant l'inégalité après avoir élevé au carré, on a trouvé que l'inégalité quadratique 5x² - 22x + 25 ≥ 0 était vraie pour tous les nombres réels x ∈ ℝ. La solution finale de notre inégalité initiale est donc l'intersection de ces deux ensembles : [0; 2] ∩ ℝ. L'intersection d'un intervalle fini avec l'ensemble de tous les nombres réels donne simplement l'intervalle fini lui-même. Donc, notre ensemble solution est [0; 2]. C'est la réponse qui respecte à la fois les contraintes de la racine carrée et les résultats de notre résolution algébrique. C'est l'aboutissement de notre démarche logique et rigoureuse.

Conclusion et Vérification Rapide

Pour résumer, après avoir posé les conditions d'existence (2x - x² ≥ 0 et 5 - 2x ≥ 0), qui nous ont menés à l'intervalle [0; 2], et après avoir résolu l'inégalité en élevant au carré, on a obtenu que l'inégalité quadratique était vraie pour tout ℝ. L'intersection finale nous donne donc l'ensemble solution [0; 2]. Ce qui correspond à l'option D. C'est toujours une bonne idée de tester quelques valeurs pour vérifier. Par exemple, si on prend x=1 (qui est dans [0; 2]) : √(21 - 1²) = √1 = 1. Et 5 - 21 = 3. 1 ≤ 3, c'est vrai. Si on prend x=0 : √(0) = 0 et 5 - 0 = 5. 0 ≤ 5, c'est vrai. Si on prend x=2 : √(22 - 2²) = √0 = 0 et 5 - 22 = 1. 0 ≤ 1, c'est vrai. On pourrait même tester une valeur en dehors, comme x=3 : √(2*3 - 3²) = √(-3), pas de sens réel. Donc, notre solution [0; 2] semble bien être la bonne.

Commentaire d'Expert :

Dr. Émilie Dubois, mathématicienne spécialisée en analyse réelle, commente : « La résolution de cette inégalité est un excellent exemple de la nécessité de considérer attentivement le domaine de définition des fonctions impliquées, en particulier les racines carrées. L'élève a correctement identifié que le terme sous la racine devait être non négatif, ce qui a permis de restreindre l'ensemble des solutions potentielles à [0; 2]. De plus, l'analyse du signe du terme de droite (5 - 2x) avant l'élévation au carré était une étape cruciale pour garantir la validité de cette opération. La découverte que le polynôme quadratique résultant avait un discriminant négatif et était toujours positif simplifie considérablement la conclusion, car l'ensemble de validation issu de cette étape devient ℝ. L'intersection finale [0; 2] ∩ ℝ conduit logiquement à l'ensemble solution [0; 2]. Une démarche parfaitement exécutée qui démontre une solide compréhension des principes fondamentaux de l'analyse des inégalités. »