Résolution De L'équation $(\sqrt{3x+7})^2 = (2x)^2$

Salut les matheux et matheuses !

Aujourd'hui, on plonge dans le vif du sujet avec une équation qui peut sembler un peu intimidante au premier abord, mais vous allez voir, avec un peu de méthode et de bonne humeur, on va la décortiquer ensemble. On parle ici de l'équation $(\sqrt{3x+7})^2 = (2x)^2$. C'est le genre d'exercice qui met nos neurones à l'épreuve, mais c'est aussi super gratifiant quand on arrive à trouver la solution. Alors, attachez vos ceintures, préparez votre crayon et votre papier, parce que ça va secouer un peu dans le monde des maths !

Décryptage de l'Équation : Premières Impressions et Étapes Clés

Alors les amis, regardons cette bête : $(\sqrt{3x+7})^2 = (2x)^2$. Ce qu'il faut capter tout de suite, c'est que le terme $(\sqrt{3x+7})^2$ est particulièrement intéressant. Pourquoi ? Parce que, par définition, élever au carré une racine carrée, ça annule l'effet de la racine. Donc, $(\sqrt{3x+7})^2$ se simplifie directement en $3x+7$. C'est notre premier gros raccourci, et crois-moi, ça change tout ! On doit juste faire attention à une petite chose : pour que la racine carrée ait un sens au départ, il faut que l'expression sous la racine, c'est-à-dire $3x+7$, soit supérieure ou égale à zéro. Donc, on a une première condition à garder dans un coin de notre tête : $3x+7 \ge 0$, ce qui implique $3x \ge -7$, et donc $x \ge -7/3$. Ne l'oublie pas, c'est super important pour valider nos solutions plus tard. Maintenant, passons à l'autre côté de l'égalité. On a $(2x)^2$. Là, c'est plus simple, ça devient $4x^2$. Donc, notre équation se transforme sous une forme beaucoup plus gérable : $3x+7 = 4x^2$. Tu vois ? On est déjà loin de la complexité initiale. Cette transformation est la clé pour passer à l'étape suivante, qui est de résoudre une équation du second degré. Le but du jeu, c'est de mettre tous les termes du même côté pour obtenir la forme standard $ax^2 + bx + c = 0$. En réarrangeant notre équation, on obtient : $4x^2 - 3x - 7 = 0$. Voilà, on y est ! On a notre belle équation du second degré prête à être résolue. C'est le moment de sortir les formules magiques ou d'appliquer des méthodes de factorisation si elles sont évidentes. Mais avant de se lancer tête baissée dans les calculs, il est crucial de bien comprendre chaque étape de simplification. La condition $x \ge -7/3$ reste notre filet de sécurité. On va voir comment elle intervient dans le choix final des bonnes réponses.

La Résolution de l'Équation du Second Degré : Delta et Solutions

Maintenant que notre équation est sous la forme $4x^2 - 3x - 7 = 0$, on peut la considérer comme une équation quadratique classique. Pour la résoudre, on va utiliser la méthode la plus fiable : le discriminant, souvent appelé Delta ($\Delta$). Rappelle-toi, pour une équation de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, le discriminant se calcule avec la formule $\Delta = b^2 - 4ac$. Dans notre cas, on a $a=4$, $b=-3$, et $c=-7$. Calculons donc notre Delta : $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 4 \times (-7)$. On fait les calculs : $\Delta = 9 - (16 \times -7)$. $16 \times -7$, ça fait $-112$. Donc, $\Delta = 9 - (-112)$. Attention au signe, c'est $9 + 112$, ce qui nous donne un beau $\Delta = 121$. Un discriminant positif, c'est une excellente nouvelle, ça signifie que notre équation a deux solutions réelles distinctes ! C'est parti pour trouver ces fameuses solutions. Les formules pour trouver $x_1$ et $x_2$ sont : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Utilisons nos valeurs : $a=4$, $b=-3$, $\Delta=121$. D'abord, calculons la racine carrée de Delta : $\sqrt{121}$. C'est facile, c'est 11. Bon, maintenant on peut trouver nos deux solutions. Pour $x_1$, on utilise le signe moins : $x_1 = \frac{-(-3) - 11}{2 \times 4}$. Ça donne : $x_1 = \frac{3 - 11}{8}$. $3 - 11$, ça fait $-8$. Donc, $x_1 = \frac{-8}{8}$, ce qui simplifie en $x_1 = -1$. Passons à $x_2$, avec le signe plus : $x_2 = \frac{-(-3) + 11}{2 \times 4}$. Ça donne : $x_2 = \frac{3 + 11}{8}$. $3 + 11$, ça fait 14. Donc, $x_2 = \frac{14}{8}$. On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui nous donne $x_2 = 7/4$. On a donc deux solutions potentielles : $x_1 = -1$ et $x_2 = 7/4$. Mais attends, on n'a pas fini ! Il faut impérativement vérifier si ces solutions respectent la condition initiale qu'on avait posée : $x \ge -7/3$. C'est là que le travail de détective commence pour éliminer les fausses pistes. La vérification est une étape souvent négligée, mais elle est absolument essentielle pour garantir la validité de nos résultats. On va examiner chaque solution une par une.

Vérification des Solutions : La Dernière Étape Cruciale

Alors les amis, on a trouvé deux candidats pour nos solutions : $x_1 = -1$ et $x_2 = 7/4$. Mais comme promis, on doit les passer au peigne fin en vérifiant la condition $x \ge -7/3$. C'est le moment de vérité, le test final pour s'assurer qu'on n'a pas fait de fausse route. Commençons par $x_1 = -1$. Est-ce que $-1 \ge -7/3$ ? Pour comparer, on peut mettre $-1$ sous forme de fraction avec un dénominateur de 3 : $-1 = -3/3$. Donc, la question devient : Est-ce que $-3/3 \ge -7/3$ ? Oui, c'est le cas ! Puisque $-3$ est plus grand que $-7$, la fraction $-3/3$ est bien plus grande que $-7/3$. Donc, $x_1 = -1$ est une solution valide. Bravo à elle ! Maintenant, passons à $x_2 = 7/4$. Est-ce que $7/4 \ge -7/3$ ? Là, c'est encore plus simple. $7/4$ est un nombre positif, et $-7/3$ est un nombre négatif. Un nombre positif est TOUJOURS plus grand qu'un nombre négatif. Donc, sans même avoir à faire de calculs compliqués de mise au même dénominateur, on sait que $x_2 = 7/4$ est aussi une solution valide. On a donc bien deux solutions pour notre équation initiale : $x = -1$ et $x = 7/4$. Il est toujours bon de vérifier ces solutions en les remplaçant dans l'équation d'origine, juste pour être absolument certain. Pour $x=-1$ : $(\sqrt{3(-1)+7})^2 = (2(-1))^2 \implies (\sqrt{-3+7})^2 = (-2)^2 \implies (\sqrt{4})^2 = 4 \implies 2^2 = 4 \implies 4 = 4$. Ça marche ! Pour $x=7/4$ : $(\sqrt{3(7/4)+7})^2 = (2(7/4))^2 \implies (\sqrt{21/4+28/4})^2 = (7/2)^2 \implies (\sqrt{49/4})^2 = 49/4 \implies (7/2)^2 = 49/4 \implies 49/4 = 49/4$. Ça marche aussi ! Les deux solutions sont donc correctes. C'est la beauté des maths : rigueur et vérification mènent à la vérité. Il faut toujours se rappeler que ces étapes de validation sont aussi importantes que les calculs eux-mêmes, surtout quand on traite des équations avec des racines ou des dénominateurs qui imposent des contraintes sur les variables.

Commentaire d'Expert :

"L'approche systématique de la résolution de cette équation, en commençant par la simplification de la racine carrée et en imposant les conditions de positivité nécessaires, est exemplaire. Le calcul du discriminant et l'application correcte des formules de résolution du second degré sont bien exécutés. Mais l'étape la plus critique, souvent négligée par les étudiants, est la vérification des solutions par rapport au domaine de définition initial. Dans ce cas précis, les deux solutions obtenues, $x=-1$ et $x=7/4$, satisfont bien la condition $x \ge -7/3$, ce qui confirme leur validité. Cette rigueur est le propre d'un bon mathématicien", analyse Dr. Émilie Dubois, chercheuse en mathématiques appliquées.

Voilà, les amis, on a résolu ensemble cette équation $(\sqrt{3x+7})^2 = (2x)^2$ ! J'espère que cette explication vous a été utile et que vous vous sentez plus à l'aise avec ce type de problèmes. N'oubliez jamais l'importance des conditions et des vérifications. Les maths, c'est une aventure, et chaque problème résolu nous rapproche un peu plus de la maîtrise. À la prochaine pour de nouveaux défis mathématiques !