Résolution De L'équation Du Second Degré $3x^2+13x=10$

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des équations du second degré avec un problème qui peut sembler un peu intimidant au premier abord : résoudre $3x^2+13x=10$. Pas de panique, mes amis, on va décortiquer ça ensemble, étape par étape. On va voir comment transformer cette équation en quelque chose de beaucoup plus gérable pour trouver les valeurs de $x$ qui la satisfont. Alors, préparez vos stylos et votre cerveau, car ça va être un voyage mathématique super cool !

Comprendre le problème : Une équation quadratique qui nous défie

Alors les gars, qu'est-ce qu'on a là ? Une équation du second degré, aussi appelée équation quadratique. Ça veut dire que notre variable $x$ est élevée au carré. L'équation de base, c'est $3x^2+13x=10$. Le but du jeu, c'est de trouver les valeurs de $x$ qui rendent cette égalité vraie. Pour faire ça proprement, la première étape, c'est de mettre toute l'équation sous la forme standard $ax^2+bx+c=0$. Vous voyez, on veut tout d'un côté, égal à zéro de l'autre. C'est une astuce super utile en maths, un peu comme mettre de l'ordre dans sa chambre avant d'inviter des amis. Donc, on va prendre ce $10$ qui est à droite et le faire passer à gauche. Attention au changement de signe ! Ça nous donne $3x^2+13x-10=0$. Voilà, c'est déjà plus propre, non ? On a notre $a$ qui vaut $3$, notre $b$ qui vaut $13$, et notre $c$ qui vaut $-10$. Ces petits chiffres sont super importants parce qu'ils vont nous aider à trouver la solution.

Maintenant, comment on s'y prend pour trouver $x$ ? Il y a plusieurs méthodes, mais la plus classique, c'est d'utiliser la fameuse formule quadratique, celle que tout le monde connaît (ou devrait connaître !). Cette formule, c'est un peu la baguette magique des équations du second degré. Elle nous dit que pour une équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$, les solutions pour $x$ sont données par :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ce $\pm$ là, c'est super important, ça veut dire qu'il y a potentiellement deux solutions. Une avec le signe plus, et une avec le signe moins. Et ce truc sous la racine carrée, $b^2-4ac$, on l'appelle le discriminant, souvent noté $\Delta$ (delta). Le discriminant, c'est un peu le chef d'orchestre de notre équation. Si $\Delta$ est positif, on a deux solutions réelles distinctes. Si $\Delta$ est nul, on a une seule solution réelle (ou deux solutions égales, c'est selon comment on voit les choses). Et si $\Delta$ est négatif, là, ça se complique un peu car il n'y a pas de solution réelle, mais des solutions dans les nombres complexes (mais ça, c'est une autre histoire, pour une autre fois !). Donc, notre mission maintenant, c'est de calculer ce discriminant avec nos valeurs $a=3$, $b=13$, et $c=-10$.

Le Calcul du Discriminant : La clé pour déverrouiller les solutions

Allez, les amis, on sort les calculatrices (ou pas !) et on se lance dans le calcul du discriminant ($\Delta$) pour notre équation $3x^2+13x-10=0$. On a dit que $a=3$, $b=13$, et $c=-10$. La formule du discriminant, c'est $\Delta = b^2-4ac$. En remplaçant nos valeurs, ça nous donne :

$\Delta = (13)^2 - 4 \times (3) \times (-10)$

Alors, voyons voir : $13$ au carré, ça fait $169$. Ensuite, $4 \times 3$, ça fait $12$. Et $12 \times (-10)$, ça fait $-120$. Donc notre calcul devient :

$\Delta = 169 - (-120)$

Attention au double signe moins qui devient un plus ! Ça nous donne :

$\Delta = 169 + 120$

Et $169 + 120$ égale $289$.

Voilà ! Notre discriminant $\Delta$ vaut $289$. Qu'est-ce que ça nous dit ? Eh bien, $289$ est un nombre positif ! Ça veut dire qu'on a bien deux solutions réelles distinctes pour notre équation. Et le plus beau, c'est que $289$ est un carré parfait. C'est la racine carrée de $17$ (car $17 \times 17 = 289$). Ça, c'est une excellente nouvelle, car ça signifie que nos solutions seront des nombres rationnels, bien propres, sans racine carrée compliquée à la fin. C'est comme trouver la clé parfaite pour ouvrir une serrure difficile. Si le discriminant n'avait pas été un carré parfait, les calculs auraient été un peu plus ardus, mais la méthode reste la même. La bonne nouvelle ici, c'est que ça rend les choses plus simples pour la suite. On a notre $\Delta$, on sait qu'on a deux solutions, et on sait qu'elles seront plutôt jolies. Alors, prêts pour la dernière étape : trouver ces fameuses valeurs de $x$ ? Accrochez-vous, on y est presque !

Application de la formule quadratique : Trouver les valeurs de x

Maintenant qu'on a notre discriminant $\Delta = 289$, on peut enfin utiliser la formule quadratique complète pour trouver nos solutions $x$. Rappelez-vous, la formule est :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

On a $a=3$, $b=13$, et on vient de calculer $\Delta = 289$. La racine carrée de $\Delta$ est $\sqrt{289} = 17$. C'est là que ça devient intéressant parce que ça simplifie drastiquement le calcul.

On va séparer ça en deux solutions :

1. Première solution (avec le signe plus) :

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \times 3}$

$x_1 = \frac{-13 + 17}{6}$

$x_1 = \frac{4}{6}$

Et là, on simplifie la fraction : $4/6$ devient $2/3$. Donc, notre première solution est $x_1 = \frac{2}{3}$. Pas mal, hein ? C'est une solution rationnelle, comme prévu.

2. Deuxième solution (avec le signe moins) :

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \times 3}$

$x_2 = \frac{-13 - 17}{6}$

$x_2 = \frac{-30}{6}$

Et quand on divise $-30$ par $6$, on obtient $-5$. Donc, notre deuxième solution est $x_2 = -5$.

Et voilà, mes amis ! Les deux solutions pour notre équation $3x^2+13x=10$ sont $x = \frac{2}{3}$ et $x = -5$. On a réussi à transformer une équation qui semblait un peu compliquée en deux valeurs bien précises. C'est la beauté des mathématiques, n'est-ce pas ? On peut décomposer des problèmes complexes en étapes gérables et arriver à des réponses claires et concises. Ces deux valeurs, quand on les remplace dans l'équation originale, la rendent vraie. C'est le test ultime !

Vérification des solutions : La preuve par neuf (ou par deux !)

C'est toujours une super bonne idée de vérifier nos solutions, histoire d'être sûrs de ne pas s'être trompés dans les calculs. C'est comme relire son travail avant de le rendre. Prenons notre équation originale : $3x^2+13x=10$.

• Vérifions $x = \frac{2}{3}$ : $3 \times (\frac{2}{3})^2 + 13 \times (\frac{2}{3}) = 3 \times (\frac{4}{9}) + \frac{26}{3} = \frac{12}{9} + \frac{26}{3}$. On simplifie $\frac{12}{9}$ en $\frac{4}{3}$. Donc on a $\frac{4}{3} + \frac{26}{3} = \frac{30}{3}$. Et $\frac{30}{3}$ égale $10$. Bingo ! Ça marche !

• Vérifions $x = -5$ : $3 \times (-5)^2 + 13 \times (-5) = 3 \times (25) - 65 = 75 - 65$. Et $75 - 65$ égale $10$. Re-bingo ! Ça marche aussi !

Les deux solutions sont donc correctes. Les options proposées dans le problème étaient :

A. $x=\frac{2}{3}$ et $x=-5$ B. $x=3$ et $x=-3$ C. $x=-2$ et $x=\frac{5}{3}$ D. $x=-7$ et $x=13$

Clairement, notre réponse correspond à l'option A. C'est génial de voir comment toutes les pièces du puzzle s'assemblent parfaitement. C'est ça, le plaisir des mathématiques, la logique implacable qui mène à la vérité.

Une autre approche : La factorisation

Pour certaines équations du second degré, notamment quand les solutions sont des nombres