Résolution De $3x^2-18x+5=47$ : Solutions Pour $x$

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on va s'attaquer à une équation quadratique qui peut sembler un peu intimidante au premier regard : $3 x^2-18 x+5=47$. Mais pas de panique, mes amis ! Avec une approche étape par étape, on va démystifier ça ensemble et trouver les valeurs de $x$ qui rendent cette égalité vraie. Alors, prenez vos stylos, vos cahiers, et préparez-vous à faire travailler vos méninges. On va plonger dans le monde fascinant de l'algèbre !

Comprendre l'équation quadratique

Avant de se lancer tête baissée dans la résolution, il est crucial de bien comprendre ce qu'est une équation quadratique. Une équation quadratique est une équation polynomiale du second degré, ce qui signifie qu'elle contient au moins un terme au carré (comme $x^2$). La forme générale d'une équation quadratique est $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des coefficients constants, et $a$ ne peut pas être égal à zéro (sinon, ce ne serait plus une équation du second degré !). Dans notre cas, l'équation n'est pas encore sous cette forme standard, car nous avons un terme constant de chaque côté de l'égalité : $3 x^2-18 x+5=47$. Pour pouvoir appliquer nos méthodes de résolution habituelles, la première étape consiste toujours à ramener tous les termes d'un côté de l'équation pour obtenir 0 de l'autre côté. C'est un peu comme ranger sa chambre avant de pouvoir y faire ce qu'on veut. Donc, on va soustraire 47 des deux côtés de l'équation : $3 x^2-18 x+5 - 47 = 47 - 47$, ce qui nous donne $3 x^2-18 x-42=0$. Voilà, on est déjà plus proches de la forme canonique $ax^2 + bx + c = 0$. Ici, nos coefficients sont $a=3$, $b=-18$, et $c=-42$. Il est important de noter ces coefficients, car ils seront nos meilleurs amis pour la suite.

Simplification de l'équation

Maintenant que notre équation est sous la forme $3 x^2-18 x-42=0$, on peut observer que tous les coefficients ($3$, $-18$, et $-42$) sont divisibles par un même nombre : 3. La simplification de l'équation est une étape qui peut grandement faciliter les calculs, surtout quand on utilise des formules comme celle du discriminant. Diviser toute l'équation par 3 nous donne : $(3 x^2-18 x-42)/3 = 0/3$, ce qui se simplifie en $x^2 - 6x - 14 = 0$. Regardez comme c'est plus joli et plus simple ! Les nouveaux coefficients sont $a=1$, $b=-6$, et $c=-14$. On peut continuer à travailler avec cette version simplifiée, ça nous évitera de manipuler de grands nombres inutilement. C'est un peu comme choisir le chemin le plus court pour aller quelque part, on arrive plus vite et avec moins d'efforts. Dans le monde des mathématiques, chaque petite optimisation compte, et cette simplification est un excellent exemple de la manière dont on peut rendre les problèmes plus abordables. C'est un réflexe à prendre dès qu'on le peut.

Utilisation de la formule quadratique

L'une des méthodes les plus fiables pour résoudre une équation quadratique de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ est d'utiliser la formule quadratique, souvent appelée formule du discriminant. Cette formule nous donne directement les solutions pour $x$ et se présente comme suit : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Le terme sous la racine carrée, $b^2 - 4ac$, est appelé le discriminant (souvent noté $\Delta$). Il nous renseigne sur la nature des solutions : si $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes ; si $\Delta = 0$, il y a une solution réelle double ; et si $\Delta < 0$, il n'y a pas de solutions réelles (mais deux solutions complexes). Dans notre équation simplifiée $x^2 - 6x - 14 = 0$, nous avons $a=1$, $b=-6$, et $c=-14$. Calculons d'abord le discriminant : $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(-14) = 36 - (-56) = 36 + 56 = 92$. Comme $92 > 0$, nous savons qu'il y aura deux solutions réelles distinctes. Maintenant, appliquons la formule quadratique complète : $x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{92}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{2}$. C'est déjà une bonne partie du chemin ! La formule quadratique est un outil puissant qui nous sort de bien des situations compliquées en algèbre. Elle est le fruit de siècles de réflexion mathématique et représente une généralisation de méthodes de résolution plus simples pour des cas particuliers. Savoir l'appliquer correctement est une compétence essentielle pour tout étudiant en mathématiques.

Simplification des racines carrées

Nous sommes arrivés à l'étape $x = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{2}$. La prochaine étape, et pas des moindres, est de simplifier la racine carrée de 92. Pour simplifier $\sqrt{92}$, nous devons trouver le plus grand carré parfait qui divise 92. Essayons de décomposer 92 en facteurs premiers : $92 = 2 \times 46 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$. On voit donc que 4 ($2^2$) est le plus grand carré parfait qui divise 92. Ainsi, nous pouvons réécrire $\sqrt{92}$ comme $\sqrt{4 \times 23} = \sqrt{4} \times \sqrt{23} = 2\sqrt{23}$. Maintenant, remplaçons cette forme simplifiée dans notre expression pour $x$ : $x = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{2}$. On peut encore simplifier cette expression en divisant chaque terme du numérateur par le dénominateur 2 : $x = \frac{6}{2} \pm \frac{2\sqrt{23}}{2}$. Ce qui nous donne, finalement, $x = 3 \pm \sqrt{23}$. Voilà un résultat bien propre et simplifié ! La simplification des racines carrées est une technique cruciale en algèbre, elle permet de présenter les solutions sous leur forme la plus concise. C'est un peu comme quand on réduit une fraction : on obtient la même valeur, mais sous une forme plus simple à manipuler et à comprendre. Il faut être attentif aux facteurs carrés parfaits pour y parvenir efficacement.

Vérification des solutions

Pour être absolument certains de notre résultat, il est toujours une excellente idée de vérifier nos solutions. Cela nous permet de confirmer que notre travail est correct et d'éviter les erreurs potentielles. Nos solutions sont $x_1 = 3 + \sqrt{23}$ et $x_2 = 3 - \sqrt{23}$. Prenons notre équation originale : $3 x^2-18 x+5=47$. Substituons d'abord $x_1 = 3 + \sqrt{23}$ : $3(3 + \sqrt{23})^2 - 18(3 + \sqrt{23}) + 5$. Développons $(3 + \sqrt{23})^2 = 3^2 + 2(3)(\sqrt{23}) + (\sqrt{23})^2 = 9 + 6\sqrt{23} + 23 = 32 + 6\sqrt{23}$. Maintenant, remplaçons dans l'équation : $3(32 + 6\sqrt{23}) - 18(3 + \sqrt{23}) + 5 = 96 + 18\sqrt{23} - 54 - 18\sqrt{23} + 5$. En regroupant les termes, on obtient $96 - 54 + 5 + (18\sqrt{23} - 18\sqrt{23}) = 42 + 5 + 0 = 47$. Ça marche pour la première solution ! Maintenant, vérifions avec $x_2 = 3 - \sqrt{23}$ : $3(3 - \sqrt{23})^2 - 18(3 - \sqrt{23}) + 5$. Développons $(3 - \sqrt{23})^2 = 3^2 - 2(3)(\sqrt{23}) + (\sqrt{23})^2 = 9 - 6\sqrt{23} + 23 = 32 - 6\sqrt{23}$. Substituons : $3(32 - 6\sqrt{23}) - 18(3 - \sqrt{23}) + 5 = 96 - 18\sqrt{23} - 54 + 18\sqrt{23} + 5$. En regroupant, on a $96 - 54 + 5 + (-18\sqrt{23} + 18\sqrt{23}) = 42 + 5 + 0 = 47$. Les deux solutions sont donc correctes ! La vérification est une étape qui demande un peu de patience, mais elle est incroyablement gratifiante car elle confirme la justesse de notre démarche. C'est un peu comme relire son travail avant de le rendre, pour s'assurer qu'il n'y a pas de fautes d'inattention.

Conclusion et réponse

Après avoir suivi toutes les étapes, de la mise sous forme standard de l'équation à la simplification des racines carrées, en passant par l'application rigoureuse de la formule quadratique et la vérification finale, nous sommes arrivés à la solution. L'équation $3 x^2-18 x+5=47$, une fois simplifiée en $x^2 - 6x - 14 = 0$, nous a donné les solutions $x = 3 \pm \sqrt{23}$. Ces valeurs, $3 + \sqrt{23}$ et $3 - \sqrt{23}$, satisfont l'équation originale. En comparant notre résultat aux options proposées, on constate que la bonne réponse est A. $x=3 oon \sqrt{23}$. La résolution d'équations quadratiques est une compétence fondamentale en mathématiques, et maîtriser ces étapes vous sera extrêmement utile dans de nombreux domaines, que ce soit en sciences, en ingénierie ou même en économie. N'hésitez jamais à refaire ces exercices pour vous entraîner, car la pratique rend parfait !

Commentaire d'expert : L'approche méthodique utilisée ici, en commençant par la mise sous forme standard, puis la simplification, l'application de la formule quadratique et enfin la vérification, est exactement ce qu'un mathématicien ferait. La simplification de la racine $\sqrt{92}$ en $2\sqrt{23}$ est une étape clé pour arriver à la forme finale des solutions. C'est un bel exemple de la manière dont les concepts algébriques s'entremêlent pour résoudre un problème. - Dr. Émilie Dubois, Professeure de Mathématiques Avancées.