Résolution De $2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)+\sqrt{2}=0$ Sur $[0, 2 \pi]$

Salut les matheux et matheuses ! Aujourd'hui, on s'attaque à un petit casse-tête trigonométrique qui va vous demander de bien maîtriser votre cercle trigonométrique et quelques manipulations algébriques. Le défi est de trouver toutes les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[0, 2 \pi]$ qui satisfont l'équation $2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)+\sqrt{2}=0$. Pas de panique, on va décortiquer ça ensemble, étape par étape, pour que tout devienne limpide. C'est parti pour une exploration du monde fascinant des fonctions trigonométriques !

Démêler l'équation : première approche

Pour commencer, l'objectif est d'isoler la fonction $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)$ dans notre équation. On a $2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)+\sqrt{2}=0$. La première étape, les amis, c'est de soustraire $\sqrt{2}$ des deux côtés de l'équation. Ça nous donne : $2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x) = -\sqrt{2}$. Ensuite, pour avoir $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)$ tout seul, on divise les deux côtés par 2. Et voilà le travail : $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Maintenant, notre mission, si on l'accepte, est de trouver tous les angles $x$ entre 0 et $2 \pi$ dont le cosinus est égal à $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ce genre de valeurs, ça doit vous rappeler quelque chose, non ? On parle souvent de ces valeurs spéciales quand on étudie le cercle trigonométrique. Le cosinus représente l'abscisse d'un point sur ce cercle. On cherche donc les points sur le cercle unité dont l'abscisse est $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Rappelez-vous, le cosinus est négatif dans les deuxième et troisième quadrants. Le cercle trigonométrique est votre meilleur ami pour visualiser ça. Les valeurs remarquables pour $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)$ sont $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 0 et 1 (et leurs opposés). La valeur $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ correspond à un angle de référence particulier. Quel est cet angle dont le cosinus est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ? C'est $\frac{\pi}{4}$. Puisque notre cosinus est négatif, il faut chercher dans les quadrants où le cosinus l'est. Le cosinus est l'abscisse du point sur le cercle trigonométrique, et cette abscisse est négative à gauche de l'axe des ordonnées, donc dans les quadrants II et III.

Exploration du cercle trigonométrique : où se cachent les solutions ?

L'équation $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ nous renvoie directement à notre bon vieux cercle trigonométrique. Vous savez, ce cercle magique de rayon 1 centré à l'origine, qui nous permet de visualiser les fonctions trigonométriques. L'angle $x$ est mesuré à partir de l'axe des abscisses positives, dans le sens anti-horaire. Le cosinus d'un angle $x$, c'est l'abscisse du point M sur le cercle trigonométrique correspondant à cet angle. On cherche donc les points M dont l'abscisse est $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Comme $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ est une valeur négative, ces points se situeront sur la partie gauche du cercle, c'est-à-dire dans les quadrants II et III. L'angle de référence, celui dont le cosinus est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (la valeur absolue), c'est $\frac{\pi}{4}$ radians. Cet angle correspond à 45 degrés. On visualise donc la droite verticale d'équation $X = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Cette droite coupe le cercle trigonométrique en deux points. Le premier point se trouve dans le quadrant II. Pour y arriver, on part de $\pi$ (l'axe des abscisses négatives) et on recule de notre angle de référence $\frac{\pi}{4}$. Donc, la première solution est $x_1 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Le deuxième point se trouve dans le quadrant III. Pour y aller, on part de $\pi$ et on avance de notre angle de référence $\frac{\pi}{4}$. Donc, la deuxième solution est $x_2 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + \pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Ces deux angles, $\frac{3\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$, sont bien dans notre intervalle de recherche $[0, 2 \pi]$. On a donc trouvé nos deux solutions !

Vérification des solutions et confirmation

Maintenant, il est crucial de vérifier que les solutions trouvées satisfont bien l'équation originale et se situent dans l'intervalle donné. Nos solutions sont $x = \frac{3\pi}{4}$ et $x = \frac{5\pi}{4}$. Ces deux valeurs sont comprises entre 0 et $2 \pi$, ce qui est parfait. Vérifions la première solution, $x = \frac{3\pi}{4}$:

$2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{2}$ On sait que $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc :

$2 imes (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{2} = -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$. C'est bon, la première solution est validée !

Maintenant, vérifions la deuxième solution, $x = \frac{5\pi}{4}$:

$2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(\frac{5\pi}{4}) + \sqrt{2}$ On sait que $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc :

$2 imes (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{2} = -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$. La deuxième solution est aussi validée !

L'ensemble des solutions pour l'équation $2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)+\sqrt{2}=0$ dans l'intervalle $[0, 2 \pi]$ est donc $\{\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\}$. Les options qui correspondent à ces solutions sont B et C. Il est important de noter que les options A ($\frac{\pi}{4}$) et D ($\frac{7\pi}{4}$) correspondent à des angles dont le cosinus est positif ($\frac{\sqrt{2}}{2}$), donc elles ne peuvent pas être des solutions à notre équation où le cosinus est négatif.

L'avis de l'expert : Dr. Émilie Dubois

« La résolution de cette équation trigonométrique est un excellent exercice pour consolider la compréhension du cercle trigonométrique et des valeurs remarquables du cosinus. L'astuce réside dans l'identification correcte des quadrants où le cosinus est négatif. Les élèves doivent se rappeler que le cosinus est l'abscisse sur le cercle unité. Une fois que la valeur $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ est obtenue, il faut penser à l'angle de référence $\frac{\pi}{4}$ et le placer dans les quadrants II et III. La visualisation sur le cercle est absolument fondamentale. Les erreurs courantes surviennent souvent lors de la translation de l'angle de référence vers les quadrants souhaités. Il est également essentiel de s'assurer que les solutions trouvées sont bien comprises dans l'intervalle spécifié, ici $[0, 2 \pi]$. La vérification finale par substitution dans l'équation originale est une étape de sécurité indispensable pour éviter toute erreur de calcul. En résumé, une bonne maîtrise du cercle trigonométrique et une méthode rigoureuse mènent sans faute à la bonne réponse. »

Conclusion anticipée : le chemin vers la bonne réponse

Pour résumer, la résolution de l'équation $2 rifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)+\sqrt{2}=0$ sur l'intervalle $[0, 2 \pi]$ nous a menés à trouver les angles dont le cosinus vaut $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. En isolant $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x)$, nous avons obtenu $\trifluoromethyl{\operatorname{cos}}(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. En nous servant du cercle trigonométrique et de la connaissance des angles remarquables, nous avons identifié que l'angle de référence dont le cosinus est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ est $\frac{\pi}{4}$. Puisque le cosinus doit être négatif, nous avons cherché les angles correspondants dans les quadrants II et III. Le premier angle est $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, et le second est $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Ces deux valeurs sont bien comprises dans l'intervalle $[0, 2 \pi]$. Les autres options proposées, $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{7\pi}{4}$, correspondent à un cosinus de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (positif), donc elles ne peuvent pas être des solutions valides pour cette équation spécifique. Les options correctes sont donc B et C. J'espère que cette explication détaillée vous a aidés à y voir plus clair, les amis !