Résolution D'équation : Trouver La Valeur De P

Salut les matheux en herbe ! Aujourd'hui, on va s'attaquer à un problème qui peut sembler un peu intimidant au premier abord, mais croyez-moi, c'est plus simple qu'il n'y paraît. On va résoudre cette équation ensemble pour trouver la valeur de '$p$'. L'équation qui nous attend est la suivante : $68=\sqrt{p-63}+63$. Accrochez-vous, car on va décortiquer chaque étape pour que tout devienne clair comme de l'eau de roche. L'objectif est de manipuler cette équation de manière logique pour isoler '$p$' et découvrir sa valeur numérique.

Comprendre l'équation et préparer le terrain

Avant de plonger tête la première dans les calculs, prenons un moment pour observer notre équation : $68=\sqrt{p-63}+63$. Ce qu'on voit ici, c'est une racine carrée qui cache notre précieuse inconnue '$p$'. Notre mission, si on l'accepte, est de nous débarrasser progressivement de tous les éléments qui entourent '$p$' pour le laisser tout seul d'un côté de l'égalité. Pour faire cela, il faut se rappeler les règles fondamentales de la manipulation algébrique. La plus importante, c'est que tout ce que vous faites d'un côté de l'équation, vous devez le faire de l'autre côté pour maintenir l'équilibre. Pensez-y comme une balance : si vous enlevez un poids d'un plateau, vous devez enlever le même poids de l'autre pour qu'elle reste à l'horizontale. Dans notre cas, le premier truc qui nous gêne pour isoler la racine carrée, c'est ce '+ 63' qui traîne. Il est ajouté à la racine carrée, donc pour s'en débarrasser, on va faire l'opération inverse : on va soustraire 63 des deux côtés de l'équation. Ça va nous aider à simplifier le membre de droite et à mettre en évidence la racine carrée. C'est une étape cruciale pour avancer dans la résolution.

L'isolement de la racine carrée : la première grande étape

Alors, comme on l'a dit, la première étape consiste à isoler le terme contenant la racine carrée. Notre équation de départ est : $68=\sqrt{p-63}+63$. Pour isoler $\sqrt{p-63}$, on va subtiliser 63 des deux côtés de l'égalité. Donc, on obtient : $68 - 63 = \sqrt{p-63}+63 - 63$. En effectuant la soustraction du côté gauche, on arrive à $5$. Du côté droit, le '+ 63' et le '- 63' s'annulent, nous laissant avec juste $\sqrt{p-63}$. L'équation se simplifie donc magnifiquement en : $5 = \sqrt{p-63}$. Voilà ! On a réussi à isoler la racine carrée. Ça, c'est une victoire ! Vous voyez, ce n'est pas si compliqué quand on prend le temps de décomposer le problème. Maintenant que notre racine carrée est toute seule d'un côté, on peut s'attaquer à l'étape suivante qui est de se débarrasser de cette racine.

Éliminer la racine carrée : le moment clé

Maintenant qu'on a $5 = \sqrt{p-63}$, notre objectif est de se débarrasser de la racine carrée. Comment fait-on ça ? Eh bien, l'opération inverse de la racine carrée, c'est l'élévation au carré. Donc, pour supprimer la racine carrée, il suffit de mettre les deux côtés de l'équation au carré. C'est là que la magie opère ! On va donc calculer $5^2$ d'un côté et $(\sqrt{p-63})^2$ de l'autre. N'oubliez jamais : l'égalité doit être préservée. Donc, on élève les deux côtés au carré : $5^2 = (\sqrt{p-63})^2$. Calculons $5^2$, ce qui nous donne 25. Ensuite, quand on élève une racine carrée au carré, elle disparaît, laissant place à ce qui était sous la racine. Donc, $(\sqrt{p-63})^2$ devient simplement $p-63$. Notre équation se transforme donc en : $25 = p-63$. On est super proches du but maintenant ! Encore une petite manipulation et on aura notre '$p$'. C'est souvent le cas en mathématiques : on avance étape par étape, chaque étape nous rapprochant de la solution finale.

Isoler p et trouver la solution finale

On y est presque les amis ! Notre équation actuelle est : $25 = p-63$. Notre dernière mission, si vous voulez bien, est d'isoler '$p$'. Pour cela, il faut se débarrasser de ce '- 63' qui est soustrait à '$p$'. L'opération inverse de la soustraction est l'addition. Donc, pour isoler '$p$', on va ajouter 63 des deux côtés de l'équation. Et hop ! $25 + 63 = p - 63 + 63$. Faisons le calcul : $25 + 63$ nous donne 88. Et sur le côté droit, $-63 + 63$ s'annulent, nous laissant avec '$p$'. L'équation finale devient donc : $88 = p$. Et voilà, mes chers explorateurs des chiffres, nous avons résolu l'équation ! La valeur de '$p$' est 88. C'est le résultat de notre petite aventure mathématique. N'est-ce pas satisfaisant de voir le problème se résoudre ?

Vérification de la solution : est-ce que ça marche ?

Une étape super importante, et que beaucoup oublient parfois, c'est la vérification. Est-ce que notre réponse, $p=88$, est correcte ? Pour le savoir, il suffit de remplacer '$p$' par 88 dans l'équation originale et de voir si l'égalité est respectée. L'équation de départ était : $68=\sqrt{p-63}+63$. Remplaçons '$p$' par 88 : $68 = \sqrt{88-63}+63$. Calculons d'abord ce qui est sous la racine : $88-63 = 25$. Donc, l'équation devient : $68 = \sqrt{25}+63$. Maintenant, calculons la racine carrée de 25. On sait que $\sqrt{25} = 5$. Donc, on a : $68 = 5+63$. Et là, on fait la somme du côté droit : $5+63 = 68$. On obtient donc : $68 = 68$. Bam ! L'égalité est parfaitement respectée. Notre solution est donc correcte et validée. C'est toujours un excellent réflexe de vérifier vos résultats, ça vous évite bien des tracas et renforce votre confiance en vos capacités. Bravo à vous !

Commentaire d'expert : L'approche systématique pour isoler la variable est la clé dans la résolution de ce type d'équations impliquant des racines carrées. La vérification finale est une étape cruciale pour s'assurer de l'exactitude du résultat, comme le démontre notre ami le Professeur Dubois, spécialiste en algèbre élémentaire.