Maths : Analyse De Fonctions Et Applications

Salut les passionnés de maths ! Aujourd'hui, on plonge dans l'univers fascinant de l'analyse fonctionnelle avec une fonction définie par morceaux. Les gars, vous savez que j'adore quand les fonctions nous racontent des histoires différentes selon les intervalles. Et celle-ci, mes amis, ne fait pas exception ! On parle de $W(t)$, une fonction qui évolue de manière assez stylée en fonction du temps $t$. Elle est définie comme suit : pour les moments allant de $0$ à $6$, elle se comporte comme $\frac{17}{2}-\frac{3}{2} \cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$. Et ensuite, pour tout temps supérieur à $6$, elle suit la courbe $\bf{10-\frac{1}{5}(t-6)^2}$. Avouez que ça a de la gueule, non ? On va décortiquer ça ensemble, voir ce que ça donne graphiquement, et pourquoi pas, imaginer des scénarios où une telle fonction pourrait s'appliquer. Préparez vos neurones, ça va être du lourd !

Comprendre la fonction par morceaux

Alors les amis, parlons d'abord de cette première partie de notre fonction, celle qui règne de $t=0$ à $t=6$. On a $W(t) = \frac{17}{2}-\frac{3}{2} \cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$. Qu'est-ce que ça nous dit, cette formule ? On reconnaît immédiatement une transformation de la fonction cosinus. Rappelez-vous, le cosinus, c'est cette courbe qui oscille gentiment entre $-1$ et $1$. Ici, il est multiplié par $-\frac{3}{2}$. Ça veut dire que l'amplitude de l'oscillation est modifiée, et surtout, qu'elle est inversée. Au lieu d'avoir une bosse, on aura plutôt un creux. Le terme $\frac{17}{2}$ est une simple translation verticale. Il décale toute la courbe vers le haut. Quant au $\frac{\pi t}{6}$ à l'intérieur du cosinus, c'est ce qu'on appelle un argument. Il contrôle la période de la fonction. Normalement, le cosinus a une période de $2\pi$. Ici, en divisant par $\frac{\pi}{6}$, on raccourcit cette période. Si on calcule $2\pi / (\pi/6)$, on obtient $12$. Donc, sur l'intervalle $[0, 6]$, on observe la moitié d'une période de cette fonction cosinusoïdale modifiée. Au début, quand $t=0$, $W(0) = \frac{17}{2}-\frac{3}{2} \cos(0) = \frac{17}{2}-\frac{3}{2} = \frac{14}{2} = 7$. Quand $t=6$, $W(6) = \frac{17}{2}-\frac{3}{2} \cos(\pi) = \frac{17}{2}-\frac{3}{2}(-1) = \frac{17}{2}+\frac{3}{2} = \frac{20}{2} = 10$. Donc, notre fonction commence à $7$ et monte jusqu'à $10$ en $t=6$. C'est une belle petite courbe qui monte en s'adoucissant grâce au cosinus. C'est vraiment cool de voir comment on peut sculpter des comportements précis juste en jouant avec les paramètres d'une fonction de base. Cette partie de la fonction nous donne une idée de croissance contrôlée, peut-être une phase d'accélération qui ralentit, comme le lancement d'une fusée qui prend son élan.

Maintenant, passons à la deuxième partie, les potos : pour $t > 6$, $W(t) = 10-\frac{1}{5}(t-6)^2$. Ici, mes amis, on rentre dans le monde des paraboles ! Le terme $(t-6)^2$ nous indique que le sommet de cette parabole est décalé à $t=6$. Comme il est au carré, ça veut dire que la fonction va être symétrique par rapport à la droite $t=6$. Le coefficient $-\frac{1}{5}$ devant, c'est super important. Le signe moins signifie que la parabole est ouverte vers le bas. Autrement dit, elle va décrire une chute. Le $\frac{1}{5}$ quant à lui, contrôle l'ouverture de la parabole. Plus le chiffre est petit, plus la parabole est large et moins la chute est rapide. Donc, au-delà de $t=6$, notre fonction $W(t)$ commence à diminuer. Regardons ce qui se passe juste après $t=6$. $W(6) = 10 - \frac{1}{5}(6-6)^2 = 10 - 0 = 10$. Ah ! C'est super intéressant, ça veut dire que la fonction est continue en $t=6$. La valeur calculée avec la première formule coïncide pile poil avec la valeur calculée avec la seconde. C'est un point clé, ça montre une transition douce. Ensuite, pour $t$ plus grand, la valeur va diminuer. Par exemple, à $t=11$, $W(11) = 10 - \frac{1}{5}(11-6)^2 = 10 - \frac{1}{5}(5)^2 = 10 - \frac{1}{5}(25) = 10 - 5 = 5$. Donc, en $t=11$, notre fonction vaut $5$. La fonction descend de manière quadratique, c'est-à-dire de plus en plus vite au début, puis de moins en moins vite car la parabole s'élargit. C'est une décroissance contrôlée, pas une chute libre. Cette combinaison des deux parties nous donne une fonction qui monte d'abord en douceur, atteint un pic, puis redescend progressivement. C'est un modèle très intéressant pour décrire des phénomènes qui ont une phase d'ascension suivie d'une phase de déclin, comme la popularité d'un produit, la concentration d'un médicament dans le sang, ou même le cycle de vie d'une population.

Analyse de la continuité et de la dérivabilité

Maintenant, les génies, parlons de deux concepts cruciaux en analyse : la continuité et la dérivabilité. On a déjà vu que notre fonction $W(t)$ est continue en $t=6$ car la limite quand $t$ approche $6$ par valeurs inférieures est égale à $W(6)$ calculé avec la première formule (qui vaut $10$), et la limite quand $t$ approche $6$ par valeurs supérieures est égale à $W(6)$ calculé avec la seconde formule (qui vaut aussi $10$). Donc, pas d'interruption brutale, le graphe ne saute pas. C'est une bonne chose ! Mais qu'en est-il de la dérivabilité en $t=6$ ? La dérivabilité, c'est la question de savoir si la fonction a une