Inégalité : 5/(3a+2b) Vs 2/(a+b) Pour A,b,c Dans [1,2]
Salut les matheux ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des inégalités, un domaine qui donne souvent du fil à retordre, même aux plus aguerris. Imaginez, on a trois nombres, a, b, et c, qui se baladent tranquillement dans l'intervalle [1, 2]. Notre mission, si on l'accepte, est de prouver une relation assez funky : la somme de 5/(3a+2b) sur les permutations cycliques doit être supérieure ou égale à la somme de 2/(a+b) sur les mêmes permutations. Ça peut sembler abstrait comme ça, mais croyez-moi, il y a une logique derrière et on va la décortiquer ensemble. Ce genre de problème est super courant dans les compétitions de mathématiques, là où il faut faire preuve d'ingéniosité et de rigueur. Alors, préparez vos crayons, car ça va être sportif ! On va explorer différentes pistes pour arriver à cette démonstration. Accrochez-vous, ça va secouer !
Comprendre le Défi : Une Inégalité Cyclique Sous Haute Tension
L'inégalité que nous devons prouver est la suivante : pour tout appartenant à l'intervalle , on a $ \frac{5}{3a+2b}+\frac{5}{3b+2c}+\frac{5}{3c+2a}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}
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\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{y_i} \geq \frac{(\sum_{i=1}^n x_i)2}{\sum_{i=1}n y_i}
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\sum_{cyc} \frac{5^2}{5(3a+2b)} \geq \frac{(\sum_{cyc} 5)^2}{\sum_{cyc} (5(3a+2b))} = \frac{(5+5+5)^2}{5(3a+2b+3b+2c+3c+2a)} = \frac{15^2}{5(5a+5b+5c)} = \frac{225}{25(a+b+c)} = \frac{9}{a+b+c}
Ceci nous donne une borne inférieure pour le membre de gauche. Maintenant, regardons le membre de droite : $\sum\limits_{cyc}\frac{2}{a+b}$. Si on applique Titu ici, on pourrait écrire $\frac{4}{2(a+b)}$. Appliquons Titu avec $x_i = 2$ et $y_i = a+b$ :
\sum_{cyc} \frac{2^2}{2(a+b)} \geq \frac{(\sum_{cyc} 2)^2}{\sum_{cyc} (2(a+b))} = \frac{(2+2+2)^2}{2(a+b+b+c+c+a)} = \frac{6^2}{2(2a+2b+2c)} = \frac{36}{4(a+b+c)} = \frac{9}{a+b+c}
Oh là là ! En appliquant Titu de cette manière, les deux membres semblent converger vers la même valeur : $\frac{9}{a+b+c}$. Cela signifie que cette application directe de Titu ne nous aide pas à prouver l'inégalité, car on obtient $\frac{9}{a+b+c} \geq \frac{9}{a+b+c}$, ce qui est trivial. Il faut donc une approche plus subtile. Peut-être faut-il ajuster les numérateurs ou utiliser une forme différente de Cauchy-Schwarz. L'idée de base de Titu reste valable, mais il faut la