Fonctions Numériques : Étude Et Limites

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on se penche sur un exercice super intéressant qui va nous faire explorer les profondeurs des fonctions numériques. Accrochez-vous, car on va décortiquer la fonction h(x) sous toutes ses coutures.

Comprendre notre fonction mystère h(x)

Notre fonction h(x) est définie par deux branches, un peu comme un chemin qui se sépare en deux :

• Pour les valeurs positives ou nulles de x (x >= 0), on a h(x) = 1 + ∛(x³ + x). Ici, on est dans le monde des racines cubiques, ça promet des choses !
• Pour les valeurs négatives de x (x < 0), la formule change et devient h(x) = 1 - √(-x) / (x + 1). Attention, ici on a une racine carrée d'une expression négative, mais c'est le -x qui va nous sauver, car si x est négatif, -x est positif. Et on a aussi une division, donc il faudra faire gaffe au dénominateur qui ne doit pas être zéro.

Partie 1 : Le domaine de définition de h, c'est quoi ce bazar ?

Le domaine de définition, ou D_h, c'est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles notre fonction h(x) a un sens. C'est un peu comme la liste des ingrédients autorisés pour une recette. Si un ingrédient n'est pas dans la liste, on ne peut pas l'utiliser.

**1/a) Montrer que D_h = ]-∞; -1[ ∪ ]-1; +∞[

Alors les potos, pour trouver le domaine de définition, on va regarder chaque partie de notre fonction séparément. On va commencer par la première branche, celle où x >= 0. Dans ce cas, h(x) = 1 + ∛(x³ + x). La racine cubique, c'est plutôt cool, elle accepte tous les nombres réels, qu'ils soient positifs, négatifs ou nuls. Donc, pour x >= 0, il n'y a aucune restriction. Notre fonction est définie pour tous les x positifs ou nuls.

Maintenant, passons à la deuxième branche, celle où x < 0. Ici, h(x) = 1 - √(-x) / (x + 1). Il y a deux choses à surveiller ici : la racine carrée et la division. Pour la racine carrée, √(-x), il faut que ce qui est sous la racine soit positif ou nul. Comme on est dans le cas où x < 0, alors -x est forcément positif. Par exemple, si x = -2, alors -x = 2, qui est positif. Donc, la racine carrée ne nous pose pas de problème ici, elle est définie pour tous les x < 0.

Le deuxième point à vérifier, c'est la division. Le dénominateur, c'est (x + 1). Une division par zéro, c'est le grand interdit en maths, ça fait tout planter ! Donc, il faut que x + 1 soit différent de zéro. Si x + 1 = 0, alors x = -1. Comme on est dans le cas où x < 0, la valeur x = -1 est effectivement une valeur négative. Donc, on doit exclure x = -1 de notre domaine de définition pour cette branche.

En résumé, pour x >= 0, tout va bien. Pour x < 0, on doit juste éviter x = -1. Si on combine les deux, on voit que la seule valeur qui pose problème, c'est x = -1. Les autres valeurs sont toutes acceptées. Donc, le domaine de définition de h est bien l'ensemble de tous les nombres réels sauf -1. En notation d'intervalle, ça s'écrit ]-∞; -1[ ∪ ]-1; +∞[. Et voilà, on a réussi à montrer ça ! Pas de quoi fouetter un chat, hein ? C'est juste une question de bien regarder les contraintes de chaque opération mathématique.

Partie 2 : Les limites de h aux bornes, voyons ce qui se passe loin, très loin !

1/b) Calculer les limites de h aux bornes de son domaine de définition.

Maintenant, les copains, on va s'amuser à regarder ce que fait notre fonction quand x devient super grand (positif ou négatif) ou quand il s'approche dangereusement de cette valeur interdite x = -1. C'est comme observer un paysage depuis une montagne très haute, on voit loin !

On va commencer par les limites quand x tend vers plus l'infini (x → +∞). C'est le cas où x devient gigantesque, positif. Dans ce cas, on utilise la première définition de h(x) : h(x) = 1 + ∛(x³ + x) pour x >= 0. Quand x est immense, le terme x³ domine largement le terme x. C'est comme si on avait une fourmi et un éléphant côte à côte, c'est l'éléphant qui fait toute la différence. Donc, x³ + x se comporte comme x³ quand x est très grand. La limite de ∛(x³ + x) quand x → +∞ sera donc la même que la limite de ∛(x³) quand x → +∞. Et la racine cubique de x³, c'est juste x. Donc, lim (x→+∞) ∛(x³ + x) = lim (x→+∞) x = +∞. Finalement, lim (x→+∞) h(x) = 1 + (+∞) = +∞. Notre fonction explose vers l'infini quand x devient très grand positivement. Ça décoiffe !

Ensuite, regardons les limites quand x tend vers moins l'infini (x → -∞). Là, x devient immense, mais en négatif. On utilise la deuxième définition de h(x) : h(x) = 1 - √(-x) / (x + 1) pour x < 0. Quand x est un très grand nombre négatif (par exemple, x = -1 000 000), alors -x est un très grand nombre positif (ici, +1 000 000). La racine carrée de -x va donc être très grande positivement. Le dénominateur (x + 1) sera aussi un très grand nombre négatif. On a donc une forme du type 1 - (grand nombre positif) / (grand nombre négatif). La fraction √(-x) / (x + 1) va tendre vers -(√(-x) / -(x+1)). Essayons de simplifier un peu notre fraction pour voir ce qu'elle donne quand x est géant. On peut mettre x en facteur au dénominateur : x + 1 = x(1 + 1/x). Et au numérateur, √(-x). Quand x → -∞, 1/x → 0, donc x + 1 se comporte comme x. Pour le numérateur, √(-x) tend vers +∞. Pour le dénominateur x+1, il tend vers -∞. On a donc √(-x) / (x+1). Si on essaie de comparer la