Fonction F(x) : Exercices Et Solutions Détaillées

Salut les amis ! On se retrouve aujourd'hui pour décortiquer un exercice super intéressant sur les fonctions, un sujet clé en maths. On va explorer la fonction f(x) = 5 + (4x-8)/(x-2) sous toutes ses coutures. Accrochez-vous, ça va chauffer !

1. Pourquoi la fonction f(x) n'est-elle pas définie pour x=2 ?

Alors, pourquoi cette fonction fait-elle des siennes quand x=2 ? C'est une question cruciale pour bien comprendre le domaine de définition d'une fonction. En fait, tout se joue au niveau du dénominateur. Rappelez-vous, on ne peut jamais diviser par zéro. C'est une règle d'or en mathématiques. Si on remplace x par 2 dans l'expression (x-2), on obtient (2-2) = 0. Et là, c'est le drame ! La division par zéro rend la fonction indéfinie.

Le domaine de définition, c'est un peu comme le terrain de jeu de notre fonction. Il représente toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction peut être calculée sans problème. Dans notre cas, x=2 est une zone interdite. On dit donc que la fonction f est définie sur tous les nombres réels sauf 2. Mathématiquement, on note ça comme ça : R \ {2}. Ce qui signifie tous les réels sauf l'ensemble contenant juste le nombre 2. C'est hyper important de bien identifier ces valeurs interdites pour éviter les erreurs de calcul et d'interprétation.

Pour bien comprendre, imaginez une recette de cuisine. Si une étape demande de diviser par zéro, la recette devient impossible à réaliser, n'est-ce pas ? Eh bien, c'est pareil avec les fonctions ! Identifier les valeurs qui annulent le dénominateur est une étape fondamentale pour travailler avec une fonction rationnelle comme celle-ci. Et, les gars, c'est une compétence qui vous servira dans plein d'autres contextes en maths, alors autant la maîtriser dès maintenant !

2. Calcul de l'image de 3 par la fonction f(x)

Maintenant, passons aux choses sérieuses : calculons l'image de 3 par notre fonction f(x). L'image d'un nombre par une fonction, c'est tout simplement la valeur qu'on obtient quand on remplace x par ce nombre dans l'expression de la fonction. En d'autres termes, on cherche f(3). C'est comme si on demandait à la fonction : "Hé, que deviens-tu quand x vaut 3 ?"

Pour calculer f(3), on va suivre les étapes une par une, comme un bon chef suit sa recette. On prend notre fonction f(x) = 5 + (4x-8)/(x-2) et on remplace chaque x par 3. Ça nous donne : f(3) = 5 + (43-8)/(3-2). Maintenant, on simplifie. D'abord, on s'occupe des parenthèses. 43, ça fait 12, donc on a 12-8 au numérateur. Et 3-2, ça fait 1 au dénominateur. Notre expression devient : f(3) = 5 + 4/1. Et là, c'est facile, 4 divisé par 1, ça fait 4. Donc f(3) = 5 + 4. Et enfin, 5 + 4, ça fait 9. Voilà, on a trouvé l'image de 3 par la fonction f, c'est 9 !

Ce calcul, il est super important parce qu'il nous donne un point précis sur le graphique de la fonction. Le point de coordonnées (3, 9) appartient à la courbe représentative de f. C'est comme une balise qui nous aide à visualiser le comportement de la fonction. Calculer des images, c'est un peu comme prendre des photos de la fonction à différents endroits pour mieux la connaître. Et plus on a de photos, plus on a une idée précise de son allure générale.

3. Calcul de l'image de π par la fonction f(x)

Continuons notre exploration avec un autre nombre un peu spécial : π (pi). Calculer l'image de π par f(x), c'est le même principe que pour 3, mais avec un nombre irrationnel. Pas de panique, on va s'en sortir ! π, c'est ce fameux nombre qui vaut environ 3,14159... mais qui a une infinité de chiffres après la virgule. C'est un peu un rebelle des maths, mais on va le dompter !

Comme avant, on remplace x par π dans l'expression de f(x) : f(π) = 5 + (4π-8)/(π-2). Là, on ne peut pas simplifier comme on l'a fait avec 3, parce qu'on ne peut pas obtenir une valeur exacte pour π. On va donc garder l'expression telle quelle, ou donner une valeur approchée en utilisant une calculatrice.

Si on utilise une calculatrice, on trouve que 4π-8 est environ égal à 4,566. Et π-2 est environ égal à 1,14159. Donc (4π-8)/(π-2) est environ égal à 4,000. Si on ajoute 5, on obtient f(π) ≈ 9. C'est intéressant de voir que l'image de π est très proche de l'image de 3 ! Ça nous donne une indication sur le comportement de la fonction autour de ces valeurs.

Ce calcul avec π est un bon exemple de l'importance des nombres irrationnels en maths. Ils peuvent paraître compliqués, mais ils sont essentiels pour décrire le monde qui nous entoure. Et même si on ne peut pas toujours obtenir des valeurs exactes, on peut utiliser des approximations pour se faire une idée précise du résultat. N'oubliez pas, les gars, π est votre ami !

4. Simplification de l'expression (4x-8) et lien avec la fonction f(x)

Maintenant, parlons de cette expression (4x-8). Elle a l'air de jouer un rôle important dans notre fonction, mais comment ? Pour le comprendre, on va la simplifier. Vous vous souvenez de la factorisation ? C'est le moment de la sortir du placard ! On remarque que 4 est un facteur commun à 4x et à 8. On peut donc écrire (4x-8) comme 4(x-2).

Et là, Eurêka ! On voit apparaître le terme (x-2), qui est aussi au dénominateur de notre fonction f(x). Ça veut dire qu'on va pouvoir simplifier ! Notre fonction f(x) = 5 + (4x-8)/(x-2) peut s'écrire aussi f(x) = 5 + 4(x-2)/(x-2). Et maintenant, attention les yeux, on peut simplifier (x-2) au numérateur et au dénominateur. À condition que x soit différent de 2, bien sûr ! On a déjà vu que x=2 est une valeur interdite.

Après simplification, on obtient f(x) = 5 + 4, ce qui donne f(x) = 9. Incroyable, notre fonction se réduit à une simple constante ! Ça veut dire que pour toutes les valeurs de x différentes de 2, la fonction vaut 9. Graphiquement, ça se traduit par une droite horizontale à la hauteur y=9, avec un trou au point d'abscisse 2. Cette simplification nous donne une vision beaucoup plus claire du comportement de la fonction. On voit tout de suite qu'elle est très simple, malgré son expression de départ qui pouvait paraître un peu intimidante.

L'avis de l'expert, Professeur Mathilde Dubois

"Ce que je trouve particulièrement intéressant dans cet exercice, c'est la façon dont il met en lumière l'importance de la simplification en mathématiques. Souvent, une expression qui paraît complexe au premier abord peut se révéler beaucoup plus simple une fois qu'on a appliqué les bonnes techniques. Et la simplification, ce n'est pas juste une question de calcul, c'est aussi une façon de mieux comprendre la nature profonde de l'objet mathématique qu'on étudie. Ici, en simplifiant f(x), on découvre que c'est une fonction constante, ce qui est une information essentielle pour comprendre son comportement."

En résumé, les gars, on a exploré cette fonction f(x) sous tous les angles. On a identifié sa valeur interdite, calculé des images, et simplifié son expression. J'espère que cet exercice vous a aidé à mieux comprendre les fonctions en général, et l'importance de la simplification en particulier. N'hésitez pas à vous entraîner avec d'autres exercices, c'est comme ça qu'on devient des pros des maths !