Fonction F Décalée Vers Le Bas : Nouvelle Fonction G

Salut les passionnés de maths ! Aujourd'hui, on plonge dans un concept fondamental mais super utile : le décalage de fonctions. Imaginez que vous avez une fonction, représentée ici par notre amie $f$, et vous voulez la bouger un peu. C'est exactement ce qu'on va faire avec $f$ pour obtenir une nouvelle fonction, qu'on va appeler $g$. On va décortiquer comment ce décalage vers le bas affecte les valeurs de notre fonction, en se basant sur le tableau de valeurs donné. C'est parti pour l'aventure mathématique !

Comprendre le Décalage Vertical de Fonctions

Pour commencer, parlons du décalage vertical. Quand on parle de décaler une fonction vers le bas, on pense immédiatement à une transformation simple mais puissante. Si on a une fonction $f(x)$, et qu'on veut la décaler de $k$ unités vers le bas, la nouvelle fonction, appelons-la $g(x)$, s'exprime simplement comme $g(x) = f(x) - k$. Dans notre cas, ce fameux décalage est de 7 unités vers le bas. Donc, notre nouvelle fonction $g$ sera définie par $g(x) = f(x) - 7$. C'est le cœur de la transformation qu'on va appliquer. Chaque point de la fonction $f$ va voir son ordonnée (sa valeur en $y$) diminuer de 7. Ce principe s'applique à tous les points de la courbe de $f$, et donc, bien sûr, à toutes les valeurs dans notre tableau. Ce n'est pas juste une astuce, c'est une propriété fondamentale des transformations de fonctions. Comprendre cela nous ouvre la porte à la visualisation et à l'analyse de nombreux phénomènes, que ce soit en physique, en économie, ou même en informatique. L'idée est de prendre une forme de base, ici représentée par les valeurs de $f$, et de la modifier systématiquement. Le décalage vers le bas est l'une des transformations les plus élémentaires, aux côtés des décalages vers le haut, vers la gauche et vers la droite. Il est essentiel de bien maîtriser cette notion avant de passer à des transformations plus complexes comme les étirements, les compressions ou les réflexions. En fait, on peut voir ce décalage comme une translation dans le plan cartésien. La courbe de $g$ est exactement la même forme que la courbe de $f$, mais elle a été déplacée vers le bas sur l'axe des ordonnées. Pensez-y comme si vous preniez un dessin et que vous le glissiez vers le bas sur votre feuille. Les dimensions et les proportions restent les mêmes, seule la position change. Dans le monde des fonctions, cette position est déterminée par l'axe des $y$. Et ce décalage de 7 unités vers le bas est appliqué uniformément à chaque valeur de $f(x)$. Il n'y a pas d'exception, pas de cas particulier. C'est cette régularité qui rend la transformation si prévisible et si utile. Le défi, pour nous, est maintenant d'appliquer cette règle à notre tableau de valeurs spécifique.

Application du Décalage au Tableau de Valeurs de $f$

Maintenant, mettons la main à la pâte avec notre tableau ! La fonction $f$ est définie par les paires $(x, f(x))$ suivantes : pour $x=1$, $f(x)=6$; pour $x=2$, $f(x)=12$; pour $x=3$, $f(x)=24$; et pour $x=4$, $f(x)=48$. On sait que notre nouvelle fonction $g$ est obtenue en soustrayant 7 à chaque valeur de $f(x)$. On va donc calculer les nouvelles valeurs de $g(x)$ pour chaque $x$ de notre tableau. Pour $x=1$, on avait $f(1)=6$. La nouvelle valeur sera $g(1) = f(1) - 7 = 6 - 7 = -1$. Pour $x=2$, $f(2)=12$. Donc, $g(2) = f(2) - 7 = 12 - 7 = 5$. Continuons avec $x=3$. On a $f(3)=24$. Par conséquent, $g(3) = f(3) - 7 = 24 - 7 = 17$. Enfin, pour $x=4$, $f(4)=48$. Cela nous donne $g(4) = f(4) - 7 = 48 - 7 = 41$. Voilà ! On a maintenant les valeurs de la fonction $g$ pour les mêmes entrées $x$. On peut représenter ces nouvelles paires $(x, g(x))$ dans un tableau. Ce tableau va clairement montrer l'effet du décalage. Chaque valeur de $f(x)$ a été réduite de 7, résultant en de nouvelles valeurs pour $g(x)$. C'est une application directe de la règle $g(x) = f(x) - 7$. On voit que les valeurs de $g$ sont systématiquement plus petites que celles de $f$. C'est précisément ce qu'on attend d'un décalage vers le bas. Les points $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$ et $(4, 48)$ qui définissent partiellement notre fonction $f$ deviennent les points $(1, -1)$, $(2, 5)$, $(3, 17)$ et $(4, 41)$ pour notre fonction $g$. Ces nouveaux points se situent tous 7 unités plus bas que leurs homologues de $f$ sur l'axe des ordonnées. Le choix des valeurs de $f(x)$ dans le tableau ($6, 12, 24, 48$) est intéressant car il s'agit d'une suite géométrique, où chaque terme est le double du précédent. Cela suggère que $f(x)$ pourrait être de la forme $f(x) = 3 imes 2^x$. Vérifions : $f(1) = 3 imes 2^1 = 6$, $f(2) = 3 imes 2^2 = 12$, $f(3) = 3 imes 2^3 = 24$, $f(4) = 3 imes 2^4 = 48$. Oui, ça correspond parfaitement ! Donc, on peut dire que $f(x) = 3 imes 2^x$. En appliquant notre décalage, on obtient alors $g(x) = f(x) - 7 = (3 imes 2^x) - 7$. Cela nous donne une expression analytique pour $g$, ce qui est encore plus puissant qu'un simple tableau de valeurs. On peut maintenant calculer $g(x)$ pour n'importe quelle valeur de $x$, pas seulement celles du tableau. Par exemple, $g(5) = (3 imes 2^5) - 7 = (3 imes 32) - 7 = 96 - 7 = 89$. Notre tableau de valeurs n'était qu'un aperçu de la fonction $f$, mais il nous a permis de comprendre la transformation et même de déduire une formule potentielle pour $f(x)$, et par extension pour $g(x)$. C'est ça la beauté des maths, une chose en entraîne une autre !

Construction du Tableau de Valeurs pour la Fonction $g$

Pour bien visualiser la transformation, créons le tableau final pour la fonction $g$. Ce tableau reprendra les mêmes valeurs de $x$ que celles utilisées pour $f$, et y associera les valeurs calculées de $g(x)$. Ce tableau est la représentation concrète de notre décalage de 7 unités vers le bas. Il nous montre explicitement comment chaque ordonnée a été affectée par la translation verticale. Alors, voici notre nouveau tableau de valeurs pour $g(x)$:

| x | 1  | 2  | 3  | 4  |
|---|----|----|----|----|
| g(x) | -1 | 5  | 17 | 41 |

Ce tableau est la réponse directe à la question posée : quelles sont les valeurs de la fonction $g$ obtenue en décalant $f$ de 7 unités vers le bas ? Comme vous pouvez le voir, chaque valeur de $g(x)$ est effectivement 7 unités inférieure à la valeur correspondante de $f(x)$. Par exemple, quand $x=1$, $f(1)$ est 6 et $g(1)$ est -1, et $6 - 7 = -1$. Quand $x=2$, $f(2)$ est 12 et $g(2)$ est 5, et $12 - 7 = 5$. Et ainsi de suite pour $x=3$ et $x=4$. Ce tableau n'est pas seulement une collection de chiffres ; c'est la preuve visuelle que la transformation $g(x) = f(x) - 7$ a été correctement appliquée. Il nous permet de passer de la compréhension théorique du décalage à une observation concrète. Si on devait tracer ces points sur un graphique, on verrait clairement que le graphe de $g$ est une copie exacte du graphe de $f$, mais entièrement descendu de 7 crans sur l'axe des $y$. Le tableau nous donne une