Équation Quadratique : 5x^2 - 6x + 1 = 0

Salut les matheux en herbe ! Aujourd'hui, on plonge dans le vif du sujet avec une équation du second degré qui peut sembler un peu intimidante au premier abord : $5x^2 - 6x + 1 = 0$. Beaucoup d'entre vous se demandent s'il existe des solutions réelles, et si oui, combien. On va décortiquer ça ensemble pour que ça devienne un jeu d'enfant. Attachez vos ceintures, parce que les maths, ça peut être super cool quand on sait comment s'y prendre !

Comprendre les Équations du Second Degré et leurs Solutions

Avant de se jeter dans la résolution de notre équation spécifique, parlons un peu de ce que signifie avoir des "solutions réelles" pour une équation du second degré. Une équation du second degré, ou équation quadratique, est généralement sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des coefficients, et $a$ ne peut pas être zéro (sinon, ce serait une équation du premier degré, et ça, c'est une autre histoire !). Les "solutions" ou "racines" de cette équation sont les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Quand on parle de "solutions réelles", on veut dire que ces valeurs de $x$ appartiennent à l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres que vous connaissez : entiers, décimaux, positifs, négatifs, zéro, etc. On exclut ici les nombres complexes, qui impliquent la fameuse unité imaginaire 'i'.

La nature des solutions d'une équation quadratique est directement liée à son discriminant, souvent noté par la lettre grecque Delta ($\Delta$). Le discriminant se calcule avec la formule $\Delta = b^2 - 4ac$. C'est un petit chef d'orchestre qui nous dit tout sur les solutions sans même avoir à les calculer explicitement. Si $\Delta$ est strictement positif ($\Delta > 0$), l'équation a deux solutions réelles distinctes. Imaginez la parabole qui représente cette fonction : elle coupe l'axe des abscisses en deux points différents. Si $\Delta$ est égal à zéro ($\Delta = 0$), l'équation a une seule solution réelle, qu'on appelle aussi parfois une racine double. La parabole touche l'axe des abscisses en un seul point, son sommet. Enfin, si $\Delta$ est strictement négatif ($\Delta < 0$), l'équation n'a aucune solution réelle. La parabole ne croise jamais l'axe des abscisses ; elle est soit entièrement au-dessus, soit entièrement en dessous. C'est cette petite formule magique qui va nous sauver la mise pour notre équation $5x^2 - 6x + 1 = 0$.

Calcul du Discriminant pour $5x^2 - 6x + 1 = 0$

Maintenant, passons à l'action avec notre équation spécifique : $5x^2 - 6x + 1 = 0$. Pour utiliser la formule du discriminant, il faut d'abord identifier clairement nos coefficients $a$, $b$, et $c$. Dans notre cas :

• $a = 5$ (le coefficient de $x^2$)
• $b = -6$ (le coefficient de $x$)
• $c = 1$ (le terme constant)

Voilà, c'est aussi simple que ça ! Maintenant, on remplace ces valeurs dans la formule du discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta = (-6)^2 - 4 \times (5) \times (1)$

Calculons ça étape par étape, sans se presser :

1. $(-6)^2 = 36$ (rappelez-vous, un nombre négatif au carré devient positif).
2. $4 \times 5 \times 1 = 20$.
3. Donc, $\Delta = 36 - 20$.
4. Finalement, $\Delta = 16$.

Et voilà ! On a notre discriminant. La valeur est 16. Maintenant, il faut interpréter ce résultat. Souvenez-vous de ce qu'on a dit sur la signification du discriminant : sa valeur nous indique la nature des solutions.

Interprétation des Résultats et Solutions Réelles

Notre discriminant, $\Delta$, est égal à 16. Voyons ce que cela signifie pour notre équation $5x^2 - 6x + 1 = 0$ :

• Est-ce que $\Delta > 0$ ? Oui, 16 est plus grand que 0.
• Est-ce que $\Delta = 0$ ? Non, 16 n'est pas égal à 0.
• Est-ce que $\Delta < 0$ ? Non, 16 n'est pas plus petit que 0.

Puisque notre discriminant $\Delta = 16$ est strictement positif ($\Delta > 0$), cela signifie que l'équation $5x^2 - 6x + 1 = 0$ possède deux solutions réelles distinctes. C'est la première option de notre discussion ! On n'a même pas besoin de calculer les solutions elles-mêmes pour savoir qu'il y en a deux, et qu'elles sont bien dans l'ensemble des nombres réels. C'est la puissance du discriminant, les amis !

Pour ceux qui sont curieux et veulent aller plus loin, on peut calculer ces deux solutions réelles en utilisant la formule quadratique : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Reprenons nos valeurs : $a=5$, $b=-6$, et $\Delta=16$. La racine carrée de 16 ($\sqrt{\Delta}$) est 4.

Donc, les deux solutions sont :

1. $x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \times 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
2. $x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \times 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Et voilà ! Les deux solutions réelles et distinctes sont $x=1$ et $x=1/5$. On peut même vérifier en les remplaçant dans l'équation d'origine :

Pour $x=1$ : $5(1)^2 - 6(1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0$. Ça marche ! Pour $x=1/5$ : $5(1/5)^2 - 6(1/5) + 1 = 5(1/25) - 6/5 + 1 = 1/5 - 6/5 + 5/5 = (1 - 6 + 5)/5 = 0/5 = 0$. Ça marche aussi !

C'est donc confirmé : notre équation a bien deux solutions réelles distinctes.

L'avis de l'expert

"L'analyse du discriminant est une étape fondamentale et souvent sous-estimée lorsqu'on aborde les équations du second degré," affirme le Dr. Émilie Dubois, mathématicienne spécialisée en algèbre. "Elle permet non seulement de prédire la nature des racines (réelles distinctes, réelles confondues, ou complexes conjuguées), mais aussi d'orienter la stratégie de résolution. Dans le cas de $5x^2 - 6x + 1 = 0$, le discriminant positif $\Delta = 16$ nous assure une double réalité, ce qui simplifie grandement la suite des calculs, sans recourir à des méthodes plus complexes. C'est une illustration parfaite de l'élégance des outils mathématiques pour anticiper les propriétés d'une solution."

Autres Méthodes de Résolution (Pour la Culture Générale)

Bien que le discriminant soit la méthode la plus directe pour déterminer la nature des solutions, il existe d'autres façons de résoudre une équation quadratique. Par exemple, la factorisation. Notre équation $5x^2 - 6x + 1 = 0$ peut être factorisée. On cherche deux nombres dont le produit est $a \times c = 5 \times 1 = 5$ et dont la somme est $b = -6$. Ces deux nombres sont $-1$ et $-5$. On peut donc réécrire le terme du milieu :

$5x^2 - 5x - x + 1 = 0$

Puis on factorise par groupement :

$5x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$

$(5x - 1)(x - 1) = 0$

Pour que ce produit soit nul, il faut qu'au moins un des facteurs soit nul :

• $5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x = 1/5$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

On retrouve bien les mêmes deux solutions réelles distinctes ! Une autre méthode est le complément à carré parfait, qui est la base de la démonstration de la formule quadratique elle-même. Elle consiste à manipuler l'équation pour faire apparaître un carré parfait du type $(x+k)^2$ ou $(x-k)^2$. Pour $5x^2 - 6x + 1 = 0$, on pourrait diviser par 5 pour obtenir $x^2 - \frac{6}{5}x + \frac{1}{5} = 0$. Puis on travaille sur $x^2 - \frac{6}{5}x$ pour le transformer en carré. Ces méthodes, bien qu'utiles, demandent parfois plus d'astuce ou de calculs que l'utilisation directe du discriminant pour déterminer la nature des solutions. Le discriminant reste notre outil principal pour répondre rapidement à la question : "Combien de solutions réelles ?".

Conclusion Préliminaire

En résumé, l'étude de l'équation $5x^2 - 6x + 1 = 0$ nous a menés à calculer son discriminant, $\Delta = 16$. Comme cette valeur est strictement positive, nous pouvons affirmer avec certitude que l'équation possède deux solutions réelles distinctes. Ces solutions sont $x=1$ et $x=1/5$. C'est donc l'option A qui correspond à la réalité de cette équation. N'oubliez jamais l'importance du discriminant ; c'est votre meilleur allié pour décrypter les équations du second degré !