Équation Exponentielle : $(3 \sqrt{3})^{-x+1}=\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$

Dec 15, 2025 by fritz-hansen 74 views

\sqrt{3})^{-x+1}=\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$

Salut les passionnés de maths, les gars ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des équations exponentielles avec un problème qui va nous faire chauffer les méninges : résoudre l'équation $(3 \sqrt{3})^{-x+1}=\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ . Les équations exponentielles, c'est un peu comme des énigmes mathématiques où l'inconnue se cache dans les exposants. Si vous avez déjà été un peu intimidés par les puissances et les exposants, ne vous inquiétez pas ! On va décortiquer ça étape par étape, de manière simple et super sympa, pour que tout le monde puisse suivre. L'objectif ici, c'est de transformer cette expression apparemment compliquée en quelque chose de beaucoup plus gérable, en utilisant les propriétés fondamentales des exposants. Préparez vos crayons, votre calculatrice (si vous le souhaitez, mais on va essayer de minimiser son usage pour le plaisir de la manipulation) et votre cerveau, car ça va être une aventure mathématique épique. On va non seulement trouver la solution, mais surtout comprendre comment on y arrive, ce qui est le plus important, n'est-ce pas ? Alors, installez-vous confortablement, et plongeons dans la résolution de cette équation qui nous promet un vrai défi intellectuel.

Décryptage de l'Équation : Les Bases Essentielles

Avant de se lancer tête baissée dans la résolution de notre équation $(3 \sqrt{3})^{-x+1}=\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ , comprenons d'abord les éléments qui la composent. On a affaire à des bases qui ne sont pas directement identiques, mais qui peuvent être ramenées à une base commune, et c'est là que réside la clé. La première base, c'est $3 \sqrt{3}$ . On peut la réécrire en utilisant les exposants. Rappelez-vous que $\sqrt{3}$ est simplement $3^{1/2}$ . Donc, $3 \sqrt{3}$ devient $3^1 \cdot 3^{1/2}$ . Grâce aux propriétés des exposants, quand on multiplie des puissances ayant la même base, on additionne les exposants. Ainsi, $3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$ . Voilà pour notre première base, transformée en $3^{3/2}$ . Ensuite, regardons le terme de droite : $\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ . Le $\frac{1}{3}$ peut être écrit comme $3^{-1}$ . Et le nombre 27, c'est tout simplement $3^3$ . Donc, $27^{x-5}$ devient $(3^3)^{x-5}$ . Ici, on utilise une autre propriété essentielle : quand on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants. $(3^3)^{x-5} = 3^{3 \cdot (x-5)} = 3^{3x-15}$ . En combinant le $\frac{1}{3}$ et le $27^{x-5}$ , on obtient $3^{-1} \cdot 3^{3x-15} = 3^{-1 + (3x-15)} = 3^{3x-16}$ . Maintenant, notre équation, qui semblait un peu intimidante au début, prend une forme beaucoup plus familière. On a réussi à exprimer chaque côté de l'égalité avec la même base, qui est 3. C'est le moment clé qui nous permet d'avancer. Le travail préalable pour simplifier et unifier les bases est absolument crucial. C'est comme préparer le terrain avant de construire une maison ; sans bonnes fondations, tout s'écroule. En maîtrisant ces manipulations d'exposants, on débloque la majorité des équations de ce type. C'est une compétence fondamentale en algèbre qui ouvre la porte à la résolution de problèmes plus complexes. Rappelez-vous toujours de ces règles : $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ , et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Elles sont vos meilleures amies dans ce genre de situation. La transformation de $3 \sqrt{3}$ en $3^{3/2}$ et de $\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ en $3^{3x-16}$ nous met sur la bonne voie pour une résolution élégante.

La Transformation de l'Équation : Vers une Base Commune

Maintenant que nous avons décrypté les différentes composantes de notre équation, le moment est venu de les rassembler pour obtenir une forme où les deux côtés de l'égalité partagent une base commune. C'est vraiment le Graal dans la résolution des équations exponentielles, car cela nous permet de simplifier considérablement le problème. Rappelez-vous, on a établi que notre équation originale, $(3 \sqrt{3})^{-x+1}=\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ , pouvait être réécrite en utilisant la base 3. Pour le côté gauche, nous avions $3 \sqrt{3}$ qui se transforme en $3^{3/2}$ . Donc, l'expression entière devient $(3^{3/2})^{-x+1}$ . En appliquant la règle $(a^m)^n = a^{mn}$ , on multiplie les exposants : $\frac{3}{2} \cdot (-x+1) = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$ . Le côté gauche de notre équation est donc $3^{-\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}}$ .

Passons maintenant au côté droit. Nous avions $\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ . Nous avons vu que $\frac{1}{3}$ est $3^{-1}$ et que $27^{x-5}$ devient $3^{3x-15}$ . En multipliant ces deux termes, on obtient $3^{-1} \cdot 3^{3x-15}$ . En utilisant la règle $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , on additionne les exposants : $-1 + (3x-15) = 3x - 16$ . Le côté droit de notre équation est donc $3^{3x-16}$ .

Nous avons donc réussi à transformer notre équation originale en :

$3^{-\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}} = 3^{3x-16}$

Voilà, les amis ! C'est le moment de vérité. Les deux côtés de l'équation sont maintenant exprimés avec la même base (la base 3). C'est une étape super importante, car cela signifie que pour que l'égalité soit vraie, les exposants doivent être égaux. C'est une propriété fondamentale des fonctions exponentielles : si $a^u = a^v$ avec $a > 0$ et $a \neq 1$ , alors $u=v$ . Dans notre cas, $a=3$ , $u = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$ et $v = 3x-16$ . En parvenant à cette forme, on a transformé une équation exponentielle complexe en une simple équation linéaire, ce qui est beaucoup plus facile à résoudre. C'est la magie de manipuler les exposants correctement. Cette étape demande de la rigueur et une bonne connaissance des règles de puissance. Si vous avez fait une erreur ici, la suite ne mènera pas à la bonne solution. Prenez le temps de vérifier chaque étape de la transformation. Le succès dans la résolution de ce type d'équation repose énormément sur cette capacité à ramener toutes les parties à une base commune. C'est un peu comme trouver un langage commun pour que toutes les parties de votre équation puissent se comprendre.

La Résolution de l'Équation Linéaire

Nous voilà à l'étape cruciale où nous avons notre équation avec la même base de chaque côté :

$3^{-\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}} = 3^{3x-16}$

Comme nous l'avons mentionné précédemment, si les bases sont identiques et non nulles (et $3$ l'est bien sûr !), alors les exposants doivent être égaux pour que l'égalité tienne. C'est le moment de se débarrasser des exposants et de se concentrer sur une simple équation linéaire. On égalise donc les exposants :

$\mathbf{-\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} = 3x - 16}$

Cette équation est beaucoup plus abordable, pas vrai ? Notre objectif maintenant est d'isoler la variable $x$ . Pour ce faire, on va regrouper tous les termes contenant $x$ d'un côté de l'égalité et tous les termes constants de l'autre.

Commençons par éliminer les fractions pour nous faciliter la tâche. Le dénominateur commun est 2. Multiplions toute l'équation par 2 :

$2 \cdot (-\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}) = 2 \cdot (3x - 16)$

Ce qui nous donne :

$-3x + 3 = 6x - 32$

Maintenant, rassemblons les $x$ . Ajoutons $3x$ des deux côtés pour éliminer le $-3x$ à gauche :

$3 = 6x + 3x - 32$

$3 = 9x - 32$

Ensuite, isolons le terme avec $x$ en ajoutant 32 des deux côtés :

$3 + 32 = 9x$

$35 = 9x$

Enfin, pour trouver la valeur de $x$ , il suffit de diviser les deux côtés par 9 :

$x = \frac{35}{9}$

Et voilà, les gars ! Nous avons trouvé la solution de notre équation exponentielle. $x = \frac{35}{9}$ . Cette étape de résolution d'équation linéaire est généralement la plus directe une fois que la transformation en base commune est réussie. Il faut juste être méthodique pour ne pas faire d'erreurs de calcul, surtout avec les signes et les fractions. La vérification, qu'on fera dans la section suivante, est une étape super importante pour s'assurer que notre solution est correcte et que nous n'avons pas commis d'erreurs lors des manipulations algébriques.

La Vérification de la Solution : Un Gage de Fiabilité

On a trouvé une solution : $x = \frac{35}{9}$ . Super ! Mais en maths, surtout quand on a manipulé des exposants et des fractions, il est impératif de vérifier notre réponse. C'est comme relire son devoir avant de le rendre ; ça évite les erreurs bêtes. La vérification nous assure que notre solution est correcte et que toutes les transformations effectuées étaient bien fondées. Pour ce faire, on va remplacer $x$ par $\frac{35}{9}$ dans l'équation originale $(3 \sqrt{3})^{-x+1}=\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ et s'assurer que le côté gauche est égal au côté droit.

Regardons d'abord le côté gauche : $(3 \sqrt{3})^{-x+1}$ . On sait que $3 \sqrt{3} = 3^{3/2}$ . Donc, on a $(3^{3/2})^{-x+1}$ . Substituons $x = \frac{35}{9}$ dans l'exposant :

$-x+1 = -\frac{35}{9} + 1 = -\frac{35}{9} + \frac{9}{9} = -\frac{26}{9}$ .

Le côté gauche devient donc $(3^{3/2})^{-\frac{26}{9}}$ . En utilisant la règle $(a^m)^n = a^{mn}$ , on multiplie les exposants :

$\frac{3}{2} \cdot (-\frac{26}{9}) = \frac{3 \cdot (-26)}{2 \cdot 9} = \frac{-78}{18}$ .

On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 6 : $\frac{-78}{18} = -\frac{13}{3}$ .

Donc, le côté gauche est égal à $3^{-\frac{13}{3}}$ .

Maintenant, passons au côté droit : $\frac{1}{3} \cdot 27^{x-5}$ . On sait que $27 = 3^3$ et $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ . Donc, l'expression est $3^{-1} \cdot (3^3)^{x-5} = 3^{-1} \cdot 3^{3(x-5)} = 3^{-1} \cdot 3^{3x-15} = 3^{3x-16}$ .

Substituons maintenant $x = \frac{35}{9}$ dans l'exposant $3x-16$ :

$3x - 16 = 3 \cdot \frac{35}{9} - 16 = \frac{3 \cdot 35}{9} - 16 = \frac{105}{9} - 16$ .

Simplifions $\frac{105}{9}$ en divisant par 3 : $\frac{35}{3}$ .

Donc, l'exposant devient $\frac{35}{3} - 16$ . Mettons tout sur un dénominateur commun (3) :

$\frac{35}{3} - \frac{16 \cdot 3}{3} = \frac{35}{3} - \frac{48}{3} = \frac{35 - 48}{3} = -\frac{13}{3}$ .

Le côté droit est donc égal à $3^{-\frac{13}{3}}$ .

Nous avons $3^{-\frac{13}{3}} = 3^{-\frac{13}{3}}$ . L'égalité est vérifiée ! Les deux côtés sont identiques. Notre solution $x = \frac{35}{9}$ est donc correcte. Cette étape de vérification est fondamentale pour la confiance en notre résultat. C'est aussi une excellente manière de réviser les règles de calcul et les propriétés des exposants. Si vous n'aviez pas obtenu la même valeur des deux côtés, il aurait fallu revenir en arrière pour chercher l'erreur, souvent dans les étapes de simplification ou de résolution de l'équation linéaire.