Domaine De (f/g)(x) Pour F(x)=x²+6x+8 Et G(x)=x³+2x²-x-2

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on plonge dans le vif du sujet avec une question qui peut sembler un peu barbare au premier abord, mais vous allez voir, c'est super accessible quand on sait où regarder. On nous demande de trouver le domaine de définition de la fonction résultant de la division de deux autres fonctions, $f(x)=x^2+6 x+8$ et $g(x)=x^3+2 x^2-x-2$. Autrement dit, on cherche le domaine de $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$.

Comprendre le Domaine de Division de Fonctions

Alors, qu'est-ce que ça veut dire, le domaine d'une division de fonctions ? C'est simple, les gars ! Il faut juste se rappeler de deux règles d'or en mathématiques. Premièrement, le domaine de toute fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est bien définie. Deuxièmement, quand on divise deux fonctions, comme $\frac{f(x)}{g(x)}$, il y a une contrainte supplémentaire super importante : le dénominateur, ici $g(x)$, ne doit jamais jamais être égal à zéro. Parce que, soyons honnêtes, diviser par zéro, c'est le gros péché mignon des maths, ça mène à l'infini et au-delà, et ce n'est pas notre but ici.

Donc, pour trouver le domaine de $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$, on doit s'assurer que deux conditions sont remplies simultanément :

1. $x$ doit être dans le domaine de $f(x)$.
2. $x$ doit être dans le domaine de $g(x)$.
3. $g(x)$ doit être différent de zéro.

Dans notre cas, $f(x)=x^2+6 x+8$ et $g(x)=x^3+2 x^2-x-2$. Ce sont des fonctions polynomiales. Et la super nouvelle avec les polynômes, c'est qu'ils sont définis pour toutes les valeurs réelles. Donc, les conditions 1 et 2 sont automatiquement remplies pour tous les nombres réels $x$. Il ne nous reste plus qu'à nous concentrer sur la condition numéro 3 : trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x) = 0$ et les exclure de notre domaine.

Déterminer les Zéros du Dénominateur $g(x)$

Notre mission, si on l'accepte, est maintenant de résoudre l'équation $g(x) = 0$, c'est-à-dire : $x^3+2 x^2-x-2 = 0$. C'est un polynôme de degré 3. Il y a plusieurs astuces pour résoudre ce genre d'équations. On peut essayer de factoriser. Souvent, quand on a quatre termes, le regroupement par paires fonctionne bien. Essayons ça !

On peut regrouper les deux premiers termes et les deux derniers : $(x^3+2x^2) + (-x-2) = 0$

Maintenant, on factorise ce qui est commun dans chaque groupe : $x^2(x+2) - 1(x+2) = 0$

Vous voyez le $*(x+2)*$ qui apparaît dans les deux termes ? C'est notre indice ! On peut maintenant factoriser par $(x+2)$ : $(x+2)(x^2-1) = 0$

On n'a pas fini, car le terme $*(x^2-1)*$ est une différence de deux carrés, qui se factorise super facilement : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Ici, $a=x$ et $b=1$. Donc, $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

Notre équation devient donc : $(x+2)(x-1)(x+1) = 0$

Pour que ce produit soit égal à zéro, il suffit qu'au moins un des facteurs soit égal à zéro. On obtient donc trois possibilités :

• $x+2 = 0 implies x = -2$
• $x-1 = 0 implies x = 1$
• $x+1 = 0 implies x = -1$

Ce sont les valeurs de $x$ qui rendent notre dénominateur $g(x)$ égal à zéro. Et comme on ne peut pas diviser par zéro, ces trois valeurs doivent être exclues du domaine de $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$.

Synthèse et Domaine Final

On a vu que $f(x)$ et $g(x)$ sont définies pour tous les réels. La seule contrainte vient de $g(x)$ qui ne doit pas être nul. On a trouvé que $g(x)=0$ lorsque $x=-2$, $x=1$, et $x=-1$.

Par conséquent, le domaine de $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$ est l'ensemble de tous les nombres réels, sauf ces trois valeurs. On écrit cela comme suit :

$D_{\frac{f}{g}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -2, x \neq 1, x \neq -1 \}$

Si on regarde les options proposées :

A. ${x \in R \mid x \neq-2,-1,1}$ B. ${x \in R \mid x \neq-1,1}$ C. ${x \in R \mid x \neq-4}$ D. ${x \in R }$

Notre résultat correspond exactement à l'option A.

L'avis de l'Expert

Le Dr. Éloïse Dubois, une figure reconnue dans le domaine de l'analyse mathématique, souligne l'importance de cette approche méthodique. "Trouver le domaine de définition, surtout pour les fonctions rationnelles ou résultant d'opérations, est une étape fondamentale", explique-t-elle. "Ignorer cette étape, c'est comme construire une maison sans fondations solides. La factorisation du dénominateur, ici particulièrement aisée grâce à la méthode de groupement, est une compétence clé. Les élèves doivent s'assurer de maîtriser ces techniques pour éviter les pièges courants et garantir la validité de leurs calculs ultérieurs." Elle ajoute que la visualisation des fonctions et de leurs asymptotes, bien que non demandée ici, offre une compréhension encore plus profonde des restrictions du domaine.

Voilà, les potos ! Vous avez maintenant toutes les cartes en main pour décomposer ce genre de problème. C'est en pratiquant ces exercices, en manipulant les polynômes et en gardant toujours un œil sur le dénominateur, que vous deviendrez des pros des domaines de définition. N'oubliez jamais que les maths, c'est avant tout une question de logique et de patience. Et puis, c'est quand même assez stylé de savoir manipuler ces fonctions, non ? Alors, continuez de vous amuser avec les chiffres et les équations, et à la prochaine pour de nouvelles aventures mathématiques !