Dérivées D'intégrales & Étude De Fonctions : Maths Faciles

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant du calcul différentiel et intégral avec deux problèmes qui vont vous faire chauffer les méninges. On va décortiquer des expressions qui ont l'air compliquées à première vue, mais vous allez voir, avec les bonnes astuces, ça devient un jeu d'enfant. Accrochez-vous, car on s'attaque à la dérivation d'intégrales et à la démonstration de croissance d'une fonction définie par une intégrale. Prêts à devenir des pros ? Let's go !

Cas d) : La Dérivation d'une Intégrale Sophistiquée

On commence fort avec la question : $\frac{d}{d x}\left(\int_{5 x^2}^{\cos x^2} \sqrt{1+5 t^3} d t\right)^2$. Wouah, ça en jette, hein ? Mais pas de panique, les gars. Pour résoudre ce monstre, on va utiliser le théorème fondamental de l'analyse et la règle de dérivation en chaîne. Rappelez-vous, le théorème fondamental de l'analyse nous dit que si on a une fonction $F(x) = \int_a^x f(t) dt$, alors $F'(x) = f(x)$. Sauf que là, nos bornes d'intégration sont des fonctions de $x$, et en plus, on élève tout ça au carré. On va donc décomposer le problème en plusieurs étapes. D'abord, considérons l'intégrale $G(x) = \int_{5 x^2}^{\cos x^2} \sqrt{1+5 t^3} d t$. Pour dériver cette expression, on va utiliser la propriété suivante : $\frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$. Dans notre cas, $f(t) = \sqrt{1+5 t^3}$, $a(x) = 5x^2$ et $b(x) = \cos x^2$. Il faut donc calculer les dérivées de $a(x)$ et $b(x)$. La dérivée de $a(x) = 5x^2$ est $a'(x) = 10x$. Pour $b(x) = \cos x^2$, on utilise la règle de dérivation en chaîne : la dérivée de $\cos u$ est $-\sin u \cdot u'$. Ici, $u = x^2$, donc $u' = 2x$. Ainsi, $b'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2)$. Maintenant, on applique la formule : $G'(x) = \sqrt{1+5 (\cos x^2)^3} \cdot (-2x \sin(x^2)) - \sqrt{1+5 (5x^2)^3} \cdot (10x)$. OK, on est presque au bout. Il ne reste plus qu'à élever cette dérivée au carré. Donc, la dérivée de notre expression originale est $2 \left(\int_{5 x^2}^{\cos x^2} \sqrt{1+5 t^3} d t\right) \cdot \left(\sqrt{1+5 (\cos x^2)^3} \cdot (-2x \sin(x^2)) - \sqrt{1+5 (5x^2)^3} \cdot (10x)\right)$. Ça peut sembler intimidant, mais en suivant les étapes et en appliquant les bonnes règles, le résultat devient gérable. C'est un excellent exercice pour maîtriser les subtilités de la dérivation sous le signe intégral !

Plongeons dans les Détails : La Puissance de la Règle de Dérivation en Chaîne

Pour bien comprendre comment on arrive à ce résultat, il est crucial de bien saisir les outils qu'on utilise. La règle de dérivation en chaîne, c'est un peu comme un jeu de poupées russes. Quand on a une fonction composée, du style $h(x) = g(u(x))$, sa dérivée $h'(x)$ est le produit de la dérivée de la fonction extérieure $g$ évaluée en la fonction intérieure $u(x)$, multipliée par la dérivée de la fonction intérieure $u'(x)$. Autrement dit, $h'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$. Dans notre problème, cette règle intervient à plusieurs niveaux. D'abord, pour dériver la borne supérieure $\cos(x^2)$. Ici, la fonction extérieure est le cosinus, et la fonction intérieure est $x^2$. La dérivée de $\cos(u)$ est $-\sin(u)$, et la dérivée de $x^2$ est $2x$. Donc, la dérivée de $\cos(x^2)$ est $-\sin(x^2) \cdot 2x$. Ensuite, cette même idée de composition de fonctions se retrouve dans le terme $\sqrt{1+5 t^3}$ quand on l'évalue aux bornes. Pour la borne supérieure $\cos x^2$, on remplace $t$ par $\cos x^2$, ce qui donne $\sqrt{1+5(\cos x^2)^3}$. Pour la borne inférieure $5x^2$, on remplace $t$ par $5x^2$, ce qui donne $\sqrt{1+5(5x^2)^3}$. La formule $\frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$ est elle-même une application directe de la règle de dérivation en chaîne combinée au théorème fondamental de l'analyse. En effet, on peut écrire l'intégrale comme $\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = \int_{0}^{b(x)} f(t) dt - \int_{0}^{a(x)} f(t) dt$. Appelons $F(x) = \int_0^x f(t) dt$. Alors l'expression devient $F(b(x)) - F(a(x))$. En appliquant la règle de dérivation en chaîne, on obtient $F'(b(x)) \cdot b'(x) - F'(a(x)) \cdot a'(x)$. Et comme $F'(x) = f(x)$ d'après le théorème fondamental de l'analyse, on retrouve bien $f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$. C'est cette compréhension profonde des outils qui rend la résolution de tels problèmes non seulement possible, mais aussi élégante. Ne sous-estimez jamais la puissance des règles de base !

Cas e) : Montrer qu'une fonction est Croissante

Passons maintenant au deuxième défi : montrer que la fonction f(x)=\int_0^x \sqrt{3-\sin ^3\]\left(t^3\right)} d t, pour $x \in R$, augmente sur $R$. Pour prouver qu'une fonction est croissante sur un intervalle, il suffit généralement de montrer que sa dérivée est positive (ou nulle) sur cet intervalle. C'est le critère de croissance le plus courant et le plus efficace. Dans notre cas, la fonction $f(x)$ est définie par une intégrale. Encore une fois, le théorème fondamental de l'analyse va être notre meilleur ami. Si $f(x) = \int_c^x g(t) dt$, alors $f'(x) = g(x)$. Ici, notre fonction $g(t)$ est \sqrt{3-\sin ^3\]\left(t^3\right)}. Donc, la dérivée de $f(x)$ est f'(x) = \sqrt{3-\sin ^3\]\left(x^3\right)}. Pour que $f(x)$ soit croissante sur $R$, il faut que $f'(x) \ge 0$ pour tout $x \in R$. Analysons l'expression de $f'(x)$ : f'(x) = \sqrt{3-\sin ^3\]\left(x^3\right)}. La racine carrée d'un nombre est toujours positive ou nulle. Donc, il suffit de vérifier que l'expression sous la racine, 3-\sin ^3\]\left(x^3\right), est toujours positive ou nulle. On sait que la fonction sinus, $\sin(u)$, varie entre -1 et 1. Par conséquent, $\sin^3(u)$ varie aussi entre $(-1)^3 = -1$ et $1^3 = 1$. Donc, pour n'importe quelle valeur de $x^3$, $\sin^3(x^3)$ est compris entre -1 et 1. Maintenant, regardons 3-\sin ^3\]\left(x^3\right). Le plus petit que cette expression puisse prendre est lorsque $\sin^3(x^3)$ est maximal, c'est-à-dire égal à 1. Dans ce cas, $3 - 1 = 2$. Le plus grand que cette expression puisse prendre est lorsque $\sin^3(x^3)$ est minimal, c'est-à-dire égal à -1. Dans ce cas, $3 - (-1) = 4$. Ainsi, l'expression 3-\sin ^3\]\left(x^3\right) est toujours comprise entre 2 et 4. Comme cette expression est toujours strictement positive, sa racine carrée, f'(x) = \sqrt{3-\sin ^3\]\left(x^3\right)}, est également toujours strictement positive. Puisque $f'(x) > 0$ pour tout $x \in R$, la fonction $f(x)$ est strictement croissante sur $R$. Bravo !

L'Importance de la Continuité et de la Définition de la Fonction

Avant de se lancer tête baissée dans le calcul de la dérivée, il est bon de s'assurer que notre fonction est bien définie et suffisamment