Dérivées : Cas Complexes De Y^x=x^y Et Plus

by fritz-hansen 44 views

Salut les potos ! Aujourd'hui, on va se plonger dans le monde fascinant des dérivées, mais pas n'importe comment. On va attaquer deux problèmes qui vont faire chauffer vos méninges, mais promis, une fois qu'on a le truc, c'est un peu comme faire du vélo, ça rentre tout seul. Préparez votre café, car on va décomposer ça ensemble, étape par étape. Le but du jeu ? Calculer

\frac{d y}{d x}$ dans deux scénarios un peu retors : d'abord avec l'équation $y^x=x^y$, et ensuite avec une bête un peu plus costaud : $x \ln y+e^{x y}=3^x y^3$. Accrochez-vous, ça va secouer ! ## L'énigme $y^x=x^y$ : une danse logarithmique pour trouver $ rac{d y}{d x}

Alors les gars, commençons par le commencement avec cette première équation, $yx=xy$. À première vue, elle peut sembler un peu intimidante, surtout avec ces variables qui se baladent en exposant. Mais pas de panique, on a une arme secrète dans notre arsenal de matheux : la dérivation logarithmique. Pourquoi ? Parce que ça nous permet de faire descendre ces exposants gênants et de transformer notre équation en quelque chose de beaucoup plus gérable.

Première étape : le log, c'est la vie ! On applique le logarithme népérien (ln) des deux côtés de l'équation. Ça donne :

ln⁡(yx)=ln⁡(xy)\ln(y^x) = \ln(x^y)

Grâce aux propriétés des logarithmes, on peut réécrire ça comme ça :

xln⁡y=yln⁡xx \ln y = y \ln x

Voilà, c'est déjà beaucoup plus sympa, vous ne trouvez pas ? Maintenant, on est dans une situation où on peut appliquer la dérivation implicite. Rappelez-vous, quand on dérive par rapport à x, on traite y comme une fonction de x, et donc on doit utiliser la règle de dérivation en chaîne (la fameuse règle du chain rule). On dérive les deux côtés de l'équation $x \ln y = y \ln x$ par rapport à x.

Deuxième étape : la dérivation implicite en action.

Sur le côté gauche, $x \ln y$, on utilise la règle du produit (uv)' = u'v + uv'. Ici, u=x et v=ln y. Donc, u'=1 et v' (la dérivée de ln y par rapport à x) est

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}$ (n'oubliez pas le dy/dx, c'est crucial !). Donc, la dérivée de $x \ln y$ est : $1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}

=ln⁡y+xydydx= \ln y + \frac{x}{y} \frac{d y}{d x}

Maintenant, passons au côté droit, $y \ln x$. Là encore, on utilise la règle du produit. u=y et v=ln x. Donc, u' =

\frac{d y}{d x}$ et v' = $\frac{1}{x}$. La dérivée de $y \ln x$ est donc : $\frac{d y}{d x} \cdot \ln x + y \cdot \frac{1}{x}

=ln⁡xdydx+yx= \ln x \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x}

Troisième étape : on rassemble le tout et on isole $ rac{d y}{d x}$ !

Maintenant, on égalise les deux dérivées qu'on vient de trouver :

ln⁡y+xydydx=ln⁡xdydx+yx\ln y + \frac{x}{y} \frac{d y}{d x} = \ln x \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x}

Le but du jeu est de regrouper tous les termes contenant $ rac{d y}{d x}$ d'un côté de l'équation et tout le reste de l'autre. On soustrait

\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}$ des deux côtés et on soustrait $\frac{y}{x}$ des deux côtés aussi : $\ln y - \frac{y}{x} = \ln x \frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} \frac{d y}{d x}

Maintenant, on factorise par $ rac{d y}{d x}$ sur le côté droit :

ln⁡y−yx=dydx(ln⁡x−xy)\ln y - \frac{y}{x} = \frac{d y}{d x} \left( \ln x - \frac{x}{y} \right)

Enfin, pour isoler notre précieuse dérivée, on divise les deux côtés par le terme entre parenthèses :

dydx=ln⁡y−yxln⁡x−xy\frac{d y}{d x} = \frac{\ln y - \frac{y}{x}}{\ln x - \frac{x}{y}}

Pour rendre ça un peu plus propre, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par $xy$ :

dydx=xyln⁡y−y2xyln⁡x−x2\frac{d y}{d x} = \frac{xy \ln y - y^2}{xy \ln x - x^2}

Et voilà, les amis ! On a trouvé la dérivée pour $yx=xy$. Pas si sorcier, hein ? La dérivation logarithmique, c'est vraiment une technique à garder précieusement dans sa boîte à outils.

Le monstre $x

\ln y+e^{x y}=3^x y^3$ : une dérivation implicite sans pitié pour trouver $ rac{d y}{d x}

On monte d'un cran avec cette deuxième équation, mes chers matheux : $x

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Passons maintenant au deuxième terme à gauche : $e^{x y}$. Ici, c'est la règle de la chaîne qui entre en jeu. La dérivée de $e^u$ est $e^u \cdot u'$. Dans notre cas, $u = xy$. La dérivée de $xy$ par rapport à x (en utilisant la règle du produit comme on vient de le faire) est

1⋅y+x⋅dydx=y+xdydx1 \cdot y + x \cdot \frac{d y}{d x} = y + x \frac{d y}{d x}

Donc, la dérivée de $e^{x y}$ est :

exy(y+xdydx)e^{x y} \left( y + x \frac{d y}{d x} \right)

=yexy+xexydydx= y e^{x y} + x e^{x y} \frac{d y}{d x}

Maintenant, on s'attaque au côté droit de l'équation : $3^x y^3$. Encore une règle du produit ! Pour le premier facteur, $3^x$, sa dérivée est $3^x \ln 3$. Pour le second facteur, $y^3$, sa dérivée par rapport à x est $3y^2 \frac{d y}{d x}$ (règle de la puissance et règle de la chaîne).

Donc, la dérivée de $3^x y^3$ est :

(3xln⁡3)⋅y3+3x⋅(3y2dydx)(3^x \ln 3) \cdot y^3 + 3^x \cdot (3y^2 \frac{d y}{d x})

=y33xln⁡3+3y23xdydx= y^3 3^x \ln 3 + 3y^2 3^x \frac{d y}{d x}

Deuxième étape : on assemble toutes les pièces et on isole $ rac{d y}{d x}$ !

Maintenant, on met tout ça bout à bout en égalant les dérivées des deux côtés de l'équation d'origine :

(ln⁡y+xydydx)+(yexy+xexydydx)=y33xln⁡3+3y23xdydx\left( \ln y + \frac{x}{y} \frac{d y}{d x} \right) + \left( y e^{x y} + x e^{x y} \frac{d y}{d x} \right) = y^3 3^x \ln 3 + 3y^2 3^x \frac{d y}{d x}

Comme d'habitude, on veut regrouper tous les termes contenant $ rac{d y}{d x}$ d'un côté. Pour ça, on va soustraire

\frac{x}{y} \frac{d y}{d x}$, $x e^{x y} \frac{d y}{d x}$ du côté droit, et ajouter $y^3 3^x \ln 3$ au côté gauche. C'est là que ça devient un peu fastidieux, alors attention aux signes ! Regroupons les termes avec $ rac{d y}{d x}$ à droite et les autres à gauche : $\ln y + y e^{x y} - y^3 3^x \ln 3 = 3y^2 3^x \frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} \frac{d y}{d x} - x e^{x y} \frac{d y}{d x}

Maintenant, factorisons par $ rac{d y}{d x}$ sur le côté droit :

ln⁡y+yexy−y33xln⁡3=dydx(3y23x−xy−xexy)\ln y + y e^{x y} - y^3 3^x \ln 3 = \frac{d y}{d x} \left( 3y^2 3^x - \frac{x}{y} - x e^{x y} \right)

Enfin, on divise pour isoler notre dérivée :

dydx=ln⁡y+yexy−y33xln⁡33y23x−xy−xexy\frac{d y}{d x} = \frac{\ln y + y e^{x y} - y^3 3^x \ln 3}{3y^2 3^x - \frac{x}{y} - x e^{x y}}

On peut encore simplifier un peu en multipliant le numérateur et le dénominateur par $y$ pour éliminer la fraction dans le dénominateur :

dydx=y(ln⁡y+yexy−y33xln⁡3)y(3y23x−xy−xexy)\frac{d y}{d x} = \frac{y \left( \ln y + y e^{x y} - y^3 3^x \ln 3 \right)}{y \left( 3y^2 3^x - \frac{x}{y} - x e^{x y} \right)}

dydx=yln⁡y+y2exy−y43xln⁡33y33x−x−xyexy\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln y + y^2 e^{x y} - y^4 3^x \ln 3}{3y^3 3^x - x - xy e^{x y}}

Et voilà ! Deux problèmes résolus, deux techniques de dérivation mises en pratique. J'espère que vous avez suivi, les amis. Ces exercices montrent bien la puissance de la dérivation implicite et logarithmique pour s'attaquer à des équations qui ne sont pas explicitement sous la forme y = f(x).

Commentaire d'expert :

"Les méthodes de dérivation implicite et logarithmique sont fondamentales en calcul différentiel, particulièrement lorsqu'on rencontre des fonctions définies par des relations implicites complexes ou des expressions où les variables sont dans les exposants, comme vu dans ces exemples. La clé réside dans l'application rigoureuse des règles de dérivation (produit, quotient, chaîne) tout en traitant $dy/dx$ comme une inconnue à isoler. La pratique régulière de tels exercices renforce la compréhension des concepts et améliore la capacité à résoudre des problèmes mathématiques avancés." - Dr. Émilie Dubois, Professeure de Mathématiques Appliquées.