Dépense Max 60$ : Pizzas Et Sandwichs, Quelle Inégalité ?

Salut les gourmands et les matheux en herbe ! Aujourd'hui, on va s'attaquer à un problème super classique mais tellement utile dans la vraie vie : comment représenter une situation de budget avec une inégalité mathématique. Notre pote Andrea a un budget serré pour se faire plaisir avec des pizzas et des sandwichs, et on doit trouver l'inégalité qui colle parfaitement à sa situation. C'est parti, les gars, on décortique ça ensemble !

Comprendre le budget d'Andrea : quand les maths rencontrent la faim !

Alors voilà le topo : Andrea peut dépenser au maximum 60 dollars. Ce "au maximum" est super important, ça veut dire qu'il peut dépenser pile 60 dollars, ou moins, mais pas un centime de plus. C'est la limite à ne pas dépasser, notre fameux plafond. Dedans, il veut s'acheter des pizzas qui coûtent 10 dollars pièce et des sandwichs qui coûtent 5 dollars pièce. On doit trouver l'inégalité qui décrit cette contrainte budgétaire. Pour bien piger, imaginons qu'il achète 'p' pizzas et 's' sandwichs. Le coût total de ses achats sera la somme du coût des pizzas et du coût des sandwichs. Le coût des 'p' pizzas, c'est 10 dollars multiplié par le nombre de pizzas, donc 10p. Le coût des 's' sandwichs, c'est 5 dollars multiplié par le nombre de sandwichs, donc 5s. Le coût total, c'est donc 10p + 5s. Et comme Andrea ne peut pas dépasser 60 dollars, ce coût total doit être inférieur ou égal à 60 dollars. L'expression "inférieur ou égal" se traduit en mathématiques par le symbole $\leq$. Donc, on arrive à l'inégalité 10p + 5s $\leq$ 60. C'est cette formule qui capture parfaitement la règle du jeu pour Andrea. Elle nous dit que la somme des dépenses en pizzas et sandwichs ne doit jamais dépasser le montant qu'il s'est fixé.

Analyser les options proposées : décryptage des inégalités

Maintenant, regardons les options qu'on nous propose et voyons laquelle correspond à notre raisonnement. On a quatre choix : A, B, C et D. Analysons-les un par un pour être sûrs de notre coup. L'option A, c'est 10p + 5s $\geq$ 60. Le symbole $\geq$ signifie "supérieur ou égal". Si on utilisait cette inégalité, ça voudrait dire qu'Andrea doit dépenser au moins 60 dollars, ce qui est le contraire de ce qu'on cherche. Il a un maximum à ne pas dépasser, pas un minimum à atteindre. Donc, l'option A, on la met de côté, elle ne colle pas du tout.

Passons à l'option B : 10p + 5s $\leq$ 60. Ah ! Ça, ça ressemble étrangement à ce qu'on a trouvé ! Le coût total des pizzas (10p) plus le coût total des sandwichs (5s) est bien inférieur ou égal à 60 dollars. C'est exactement la contrainte budgétaire d'Andrea. Ce symbole $\leq$ représente parfaitement l'idée de "ne peut pas dépenser plus que". Donc, l'option B semble être la bonne réponse, les gars. Gardons-la précieusement sous le coude.

Maintenant, pour être complètement exhaustifs et pour que vous ayez toutes les billes, examinons les options C et D. L'option C, c'est 60 + 10p $\geq$ 5. Ici, on mélange le budget total avec le coût des pizzas et on le compare au coût d'un sandwich. Ça n'a aucun sens dans le contexte du problème. Le 60 dollars est le plafond de dépense, pas une dépense à ajouter au coût des pizzas. Et le 5 dollars, c'est le prix d'un sandwich, pas une limite. Cette inégalité ne représente en rien la situation d'Andrea. Idem pour l'option D : 60 + 10p $\leq$ 5. Encore une fois, le mélange des termes est incorrect et ne reflète pas la contrainte budgétaire. Ces deux dernières options sont des distracteurs, des pièges pour ceux qui ne font pas attention à la formulation du problème. Il est crucial de bien identifier quelle quantité représente quoi dans l'inégalité et quel symbole mathématique utiliser pour traduire les mots comme "au plus", "au moins", "strictement inférieur", etc.

La logique derrière le choix de l'inégalité : plus qu'une simple formule

Ce qu'il faut retenir de cette petite aventure mathématique, c'est que chaque mot compte. Le mot "maximum" dans la phrase "Andrea peut dépenser no more than $60" est la clé. Il nous dit qu'on est dans un scénario où la quantité totale (le coût des pizzas plus le coût des sandwichs) doit être *en dessous* ou *au niveau* d'une certaine valeur (60$). C'est précisément ce que le symbole "inférieur ou égal" ($\leq$) exprime. Imaginez que vous êtes au supermarché avec un bon d'achat de 100$. Vous ne pouvez pas dépenser plus de 100$. Si vous achetez des articles pour 95$, c'est bon. Si vous achetez pour 100$, c'est bon aussi. Mais si vous essayez d'acheter pour 105$, la caissière vous arrêtera. Votre panier d'achat doit être $\leq$ 100$. C'est la même logique ici. Le coût total de la nourriture d'Andrea ($10p + 5s$) doit être $\leq$ 60$.

Il est aussi intéressant de noter que dans ce genre de problème, on travaille souvent avec des quantités qui doivent être des nombres entiers (on ne peut pas acheter une demi-pizza, généralement). Donc, on aurait en réalité un système d'inégalités avec $p \geq 0$ et $s \geq 0$, et $p, s$ étant des entiers. Mais la question se concentre uniquement sur la contrainte budgétaire principale. Le choix de l'inégalité correcte est fondamental pour pouvoir ensuite trouver les combinaisons possibles de pizzas et de sandwichs qu'Andrea peut acheter, ou pour optimiser ses choix s'il y avait d'autres facteurs (par exemple, s'il voulait maximiser le nombre total d'articles, ou s'il avait des préférences).

En gros, pour résoudre ce genre de souci, on identifie d'abord la variable inconnue (ici, le nombre de pizzas 'p' et le nombre de sandwichs 's'). Ensuite, on traduit les coûts individuels (10$ par pizza, 5$ par sandwich). On combine ces coûts pour obtenir le coût total ($10p + 5s$). Enfin, on utilise le mot-clé de la contrainte (ici, "no more than" qui se traduit par $\leq$) pour relier le coût total à la limite imposée (60$). Si le mot-clé avait été "at least" ou "no less than", on aurait utilisé $\geq$. Si c'était "less than" ou "below", on aurait utilisé $<$. Et "greater than" ou "above", on aurait utilisé $>$. La maîtrise de ces symboles et de leur traduction verbale est une compétence essentielle en mathématiques appliquées.

Que nous dit l'inégalité sur les choix d'Andrea ?

Une fois qu'on a notre inégalité, 10p + 5s $\leq$ 60, qu'est-ce qu'on peut en tirer comme infos utiles pour Andrea ? Eh bien, ça ouvre la porte à plein de possibilités ! Par exemple, si Andrea décide de ne prendre que des pizzas, il peut en acheter au maximum $60 / 10 = 6$ pizzas (car $10 \times 6 = 60$, ce qui est $\leq$ 60). S'il prend 7 pizzas, ça ferait 70$, et là, c'est fichu, ça dépasse son budget. S'il se dit "je veux que des sandwichs", alors il peut en prendre au maximum $60 / 5 = 12$ sandwichs. Cool, non ?

Mais le plus intéressant, c'est quand il mélange les deux. L'inégalité nous montre qu'il y a des compromis à faire. S'il prend une pizza (donc $p=1$), ça lui coûte 10$. Il lui reste alors $60 - 10 = 50$ dollars pour les sandwichs. Avec 50 dollars, il peut acheter $50 / 5 = 10$ sandwichs. Donc, (1 pizza, 10 sandwichs) est une combinaison possible qui respecte son budget : $10 \times 1 + 5 \times 10 = 10 + 50 = 60$, ce qui est bien $\leq$ 60$.

Et s'il prend deux pizzas ($p=2$) ? Ça lui coûte $10 \times 2 = 20$ dollars. Il lui reste $60 - 20 = 40$ dollars pour les sandwichs. Il pourra donc acheter $40 / 5 = 8$ sandwichs. La combinaison (2 pizzas, 8 sandwichs) est aussi valide : $10 \times 2 + 5 \times 8 = 20 + 40 = 60$, toujours $\leq$ 60$.

On voit bien que plus il prend de pizzas (qui sont plus chères), moins il peut prendre de sandwichs, et vice-versa. C'est l'essence même d'une contrainte budgétaire. L'inégalité 10p + 5s $\leq$ 60 nous permet de visualiser toutes ces combinaisons possibles. Si on devait représenter ça graphiquement, on tracerait une droite correspondant à $10p + 5s = 60$ dans un graphique avec 'p' sur un axe et 's' sur l'autre. La zone de solutions serait alors le triangle formé par cette droite et les axes, incluant la droite elle-même. Chaque point entier dans cette zone représente une combinaison réalisable pour Andrea.

Cette capacité à traduire une situation concrète en langage mathématique est une compétence super précieuse, pas seulement pour les devoirs de maths, mais aussi pour la vie de tous les jours. Que ce soit pour gérer son budget personnel, planifier des repas, ou même pour des projets plus complexes en entreprise, savoir poser la bonne inégalité, c'est déjà à moitié résoudre le problème. Alors la prochaine fois que vous avez un budget à respecter, pensez aux pizzas et aux sandwichs d'Andrea !

Commentaire d'expert :

"L'exercice proposé illustre parfaitement le rôle des inégalités dans la modélisation de contraintes réelles. La formulation "no more than" est le signal d'alarme qui nous oriente vers l'utilisation du symbole $\leq$. Il est essentiel que les élèves apprennent à décoder ces indicateurs verbaux pour transposer correctement une situation problème dans un cadre mathématique. La confusion entre $\leq$ et $\geq$ est fréquente, d'où l'importance d'analyser systématiquement chaque option comme nous l'avons fait ici. La capacité à définir les variables (p pour pizzas, s pour sandwichs) et à construire l'expression du coût total ($10p + 5s$) est la base de la résolution." affirme Dr. Émilie Dubois, spécialiste en didactique des mathématiques.