Calculus : Prouvez La Différentiabilité D'une Composition

Salut les passionnés de maths !

Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant du calcul différentiel multivariable pour décortiquer un concept fondamental : la différentiabilité d'une composition de fonctions. Vous savez, ce moment où on se dit "mais comment on prouve que ça marche, cette histoire ?". Eh bien, on va y aller étape par étape, comme on bâtit une maison solide, brique par brique. On s'intéresse ici à une fonction $f$ qui va de $A$, un sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$, vers $\mathbb{R}$. L'idée maîtresse qu'on veut vous prouver aujourd'hui, c'est que si toutes les dérivées partielles de notre fonction $f$ existent et, cerise sur le gâteau, sont continues, alors notre chère fonction $f$ est bel et bien différentiable. C'est un peu le Graal, le sésame qui ouvre les portes à plein d'autres théorèmes super utiles en analyse. Préparez vos cerveaux, on va faire chauffer les méninges !

La Différentiabilité : C'est Quoi Ce Truc ?

Avant de se lancer tête baissée dans la preuve, rappelons un peu ce que signifie être différentiable pour une fonction de plusieurs variables. Pour une fonction $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, être différentiable en un point $a = (a_1, \dots, a_n) \in A$ signifie qu'on peut approximer localement le comportement de $f$ près de $a$ par une fonction linéaire. Plus formellement, cela veut dire qu'il existe une application linéaire $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle que, lorsqu'on s'approche de $a$, la différence entre $f(x) - f(a)$ et cette approximation linéaire $L(x-a)$ devient négligeable par rapport à la distance entre $x$ et $a$. Mathématiquement, ça s'écrit comme ça :

$$\lim_{x o a} \frac{f(x) - f(a) - L(x-a)}{\|x-a\|} = 0$$

L'application linéaire $L$ qu'on cherche, elle n'est pas n'importe laquelle : elle est intimement liée aux dérivées partielles de $f$. En fait, si $f$ est différentiable en $a$, alors $L$ est unique et ses coefficients sont justement les valeurs des dérivées partielles de $f$ calculées en $a$. Autrement dit, $L(h) = \nabla f(a) \cdot h$, où $\nabla f(a)$ est le vecteur gradient de $f$ en $a$. La formule devient alors :

$$\lim_{x o a} \frac{f(x) - f(a) - \nabla f(a) \cdot (x-a)}{\|x-a\|} = 0$$

Donc, prouver la différentiabilité, c'est prouver que cette limite est bien nulle. Ça peut sembler abstrait comme ça, mais imaginez que vous êtes sur une carte de relief (votre fonction $f$). La différentiabilité en un point, c'est la capacité à bien approximer la pente de la montagne juste à ce point avec un plan tangent. Si la montagne est bien lisse (dérivées partielles continues), ce plan tangent fait un super boulot d'approximation. Si elle a des bosses ou des cassures partout (dérivées partielles qui n'existent pas partout ou qui varient n'importe comment), l'approximation par un plan devient franchement nulle.

Le Lien Crucial : Dérivées Partielles et Continuité

Maintenant, parlons du cœur du sujet : pourquoi la continuité des dérivées partielles est-elle si importante pour garantir la différentiabilité ? C'est là que la magie opère, les amis. Notre théorème nous dit que si les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}$ existent sur un voisinage d'un point $a$ et sont continues en $a$, alors $f$ est différentiable en $a$. Comment on s'y prend pour le prouver ? On utilise une astuce géniale qui s'appelle la formule des accroissements finis, adaptée aux fonctions de plusieurs variables. L'idée est de décomposer la différence $f(x) - f(a)$ en une somme de petites variations le long des axes, et d'appliquer le théorème des accroissements finis à chaque étape.

Pour faire simple, imaginons qu'on passe de $a = (a_1, \dots, a_n)$ à $x = (x_1, \dots, x_n)$. On peut construire un chemin brisé qui relie $a$ à $x$ en se déplaçant d'abord le long des axes. Par exemple, on va de $a$ à $a + (x_1-a_1, 0,

\dots, 0)$, puis à $a + (x_1-a_1, x_2-a_2, 0,

\dots, 0)$, et ainsi de suite, jusqu'à atteindre $x$. Le changement total $f(x) - f(a)$ est alors la somme des changements sur chaque segment de ce chemin. On peut écrire ça comme :

$$f(x) - f(a) = \sum_{i=1}^n \big( f(a_1, \dots, a_{i-1}, x_i, \dots, x_n) - f(a_1, \dots, a_{i-1}, a_i, \dots, x_n) \big)$$

(Attention, cette écriture n'est pas tout à fait exacte, il faut bien faire le chemin point par point. La vraie formule utilise des points intermédiaires).

Pour chaque terme de cette somme, disons celui où seule la $i$-ème coordonnée change, on applique le théorème des accroissements finis dans $\mathbb{R}$. Ce théorème dit que pour une fonction $g: [c, d] \to \mathbb{R}$ dérivable, il existe $t \in (c, d)$ tel que $g(d) - g(c) = g'(t)(d-c)$. Dans notre cas, pour le terme $i$, on fixe toutes les coordonnées sauf la $i$-ème, et on considère la fonction d'une variable $h(t) = f(a_1,

\dots, a_{i-1}, t, x_{i+1},

\dots, x_n)$. On applique le théorème des accroissements finis sur l'intervalle entre $a_i$ et $x_i$. On obtient alors :

$$f(x) - f(a) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(c_i) (x_i - a_i)$$

Où $c_i$ est un point sur le segment reliant le point de départ et le point d'arrivée pour la $i$-ème variation. C'est là que la continuité des dérivées partielles entre en jeu ! Comme on suppose que $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ est continue en $a$, quand $x$ s'approche de $a$, nos points intermédiaires $c_i$ s'approchent aussi de $a$. Donc, $\frac{\partial f}{\partial x_i}(c_i)$ s'approche de $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$.

On réécrit la formule comme suit :

$$f(x) - f(a) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) (x_i - a_i) + \sum_{i=1}^n \Big( \frac{\partial f}{\partial x_i}(c_i) - \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \Big) (x_i - a_i)$$

La première somme est exactement notre approximation linéaire $L(x-a)$. Il ne reste plus qu'à montrer que la deuxième somme tend vers zéro plus vite que $\|x-a\|$ quand $x o a$. C'est là que la continuité des dérivées partielles fait tout le travail. Pour chaque $i$, le terme $\Big( \frac{\partial f}{\partial x_i}(c_i) - \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \Big)$ tend vers 0 quand $x o a$. Comme le nombre de termes $n$ est fixe (on est dans $\mathbb{R}^n$), et que $|x_i - a_i| \le \|x-a\|$, le terme total devient négligeable par rapport à $\|x-a\|$. Et voilà, la différentiabilité est prouvée !

Le Rôle de l'Hypothèse de Continuité

Les gars, on ne le répétera jamais assez : la continuité des dérivées partielles est la clé de voûte de cette preuve. Sans cette hypothèse, le théorème tombe à l'eau. Pourquoi ? Parce que sans continuité, on ne peut pas garantir que $\frac{\partial f}{\partial x_i}(c_i)$ se rapproche de $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ lorsque $x$ s'approche de $a$. Imaginez une fonction dont les dérivées partielles existent partout, mais qui font des sauts de géant à certains endroits. Dans ce cas, notre approximation par le plan tangent risque de ne plus être si bonne que ça. Le terme d'erreur, cette deuxième somme dans notre formule, pourrait ne pas tendre vers zéro assez rapidement, voire pas du tout.

Prenons un exemple pour illustrer. La fonction $f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \ne (0,0)$ et $f(0,0)=0$ a des dérivées partielles qui existent en $(0,0)$ (elles sont toutes deux nulles), mais elles ne sont pas continues en $(0,0)$. D'ailleurs, cette fonction n'est pas différentiable en $(0,0)$. C'est un contre-exemple classique qui montre qu'avoir des dérivées partielles ne suffit pas ; leur comportement doit être