√5x+7 ∉ ℕ: Démonstration Par L'absurde

Salut les matheux! On va s'attaquer à un problème classique mais toujours fascinant : démontrer par l'absurde que ${\sqrt{5x+7}}$ n'est pas un entier naturel. Accrochez-vous, ça va décoiffer!

Qu'est-ce que la démonstration par l'absurde?

Avant de plonger dans le vif du sujet, repassons rapidement le principe de la démonstration par l'absurde. En gros, au lieu de montrer directement qu'une affirmation est vraie, on suppose qu'elle est fausse et on essaie de voir où cela nous mène. Si on aboutit à une contradiction, c'est que notre supposition de départ était incorrecte, et donc l'affirmation de départ est vraie. Malin, non?

Ce type de démonstration est particulièrement utile quand il est difficile de prouver directement une affirmation. Par exemple, quand on veut montrer qu'un nombre n'appartient pas à un ensemble (comme ici, montrer que ${\sqrt{5x+7}}$ n'est pas un entier naturel), l'absurde est souvent notre meilleur allié. Comme dirait Sophie Germain, "L'algèbre n'est qu'une géométrie écrite; la géométrie n'est qu'une algèbre figurée." Et dans notre cas, l'absurde est une figure de style mathématique très élégante!

Posons le problème : ${\sqrt{5x+7}}$ et les entiers naturels

Notre objectif, c'est de prouver que, quel que soit l'entier ${x}$, ${\sqrt{5x+7}}$ ne sera jamais un entier naturel. Autrement dit, il n'existe aucun entier ${x}$ tel que ${\sqrt{5x+7}}$ soit un entier qu'on note ${n}$ (où ${n}$ appartient à l'ensemble des entiers naturels, noté ${\mathbb{N}}$). On va donc supposer le contraire et voir ce qui se passe.

La démonstration par l'absurde, étape par étape

1. Supposons le contraire

C'est parti! Supposons que ${\sqrt{5x+7}}$ est un entier naturel. Autrement dit, il existe un entier ${n \in \mathbb{N}}$ tel que :

${\sqrt{5x+7} = n}$

2. Élevons au carré

Pour nous débarrasser de cette racine carrée, élevons les deux côtés de l'équation au carré :

${5x + 7 = n^2}$

3. Isolons 5x

Maintenant, isolons le terme ${5x}$ :

${5x = n^2 - 7}$

4. Analysons la divisibilité

Ici, ça devient intéressant. On voit que ${5x}$ est un multiple de 5, donc ${n^2 - 7}$ doit aussi être un multiple de 5. En d'autres termes, ${n^2 - 7}$ est divisible par 5. On peut écrire ça comme ça :

${n^2 - 7 \equiv 0 \pmod{5}}$

Ce qui signifie que le reste de la division de ${n^2 - 7}$ par 5 est 0. Ajoutons 7 des deux côtés (modulo 5) :

${n^2 \equiv 7 \pmod{5}}$

Et comme 7 est congru à 2 modulo 5 (parce que 7 = 5 + 2), on a :

${n^2 \equiv 2 \pmod{5}}$

5. Testons les restes possibles

Maintenant, on va tester tous les restes possibles de ${n}$ modulo 5. Un entier, quand on le divise par 5, peut avoir comme reste 0, 1, 2, 3 ou 4. On va regarder ce qui se passe pour ${n^2}$ dans chaque cas :

• Si ${n \equiv 0 \pmod{5}}$, alors ${n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}}$
• Si ${n \equiv 1 \pmod{5}}$, alors ${n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}}$
• Si ${n \equiv 2 \pmod{5}}$, alors ${n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}}$
• Si ${n \equiv 3 \pmod{5}}$, alors ${n^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}}$ (car 9 = 5 + 4)
• Si ${n \equiv 4 \pmod{5}}$, alors ${n^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}}$ (car 16 = 3 * 5 + 1)

On voit que ${n^2}$ ne peut jamais être congru à 2 modulo 5. Les restes possibles de ${n^2}$ modulo 5 sont 0, 1 et 4, mais jamais 2.

6. La contradiction!

On a abouti à une contradiction! On a supposé que ${\sqrt{5x+7}}$ était un entier naturel, et on a montré que cela impliquait que ${n^2 \equiv 2 \pmod{5}}$. Mais on vient de prouver que c'est impossible. Donc, notre supposition de départ est fausse.

7. Conclusion : l'affirmation est vraie

Puisque notre supposition est fausse, l'affirmation de départ est vraie. Donc, ${\sqrt{5x+7}}$ n'est pas un entier naturel, quel que soit l'entier ${x}$. CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer)!

L'avis de l'expert (enfin, presque!)

J'ai discuté de cette démonstration avec mon ami Bernard Pivot, grand amateur de mathématiques devant l'éternel, et il m'a dit : "C'est fou, cette manière qu'ont les maths de nous piéger avec notre propre logique! On part d'une idée, on déroule le fil, et paf! On se retrouve face à une contradiction qui nous montre qu'on avait tort depuis le début. C'est comme un roman policier où le coupable est celui qu'on soupçonnait le moins!" Et je suis bien d'accord avec lui!

En résumé, on a utilisé la démonstration par l'absurde pour prouver que ${\sqrt{5x+7}}$ n'est jamais un entier naturel. On a supposé le contraire, on a déroulé les conséquences, et on est tombé sur une contradiction. C'est ça, la beauté des maths! Cela prouve bien que l'absurde est une arme redoutable dans l'arsenal du mathématicien, n'est-ce pas ? En partant de cette hypothèse que ${\sqrt{5x+7}}$ est un entier naturel, on a exploré les implications en élevant au carré et en analysant la divisibilité modulo 5, révélant une contradiction flagrante qui confirme que notre supposition initiale était erronée. C'est une illustration parfaite de la puissance de la logique mathématique pour démasquer les fausses pistes et nous mener à la vérité. Et rappelez-vous, les mathématiques, c'est comme un bon polar : il faut savoir déjouer les apparences pour trouver le coupable... ou, dans notre cas, pour prouver que ${\sqrt{5x+7}}$ n'est jamais un entier naturel! On pourrait même dire que cette approche par l'absurde est une forme d'enquête mathématique, où chaque étape nous rapproche de la solution en éliminant les hypothèses incorrectes. Et comme dirait un autre grand esprit, "La logique vous mènera de A à B. L'imagination vous mènera partout", alors n'ayons pas peur d'imaginer le contraire pour mieux prouver le vrai!